Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính chất của tích phân
KP3
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5}\). Từ đó, tính \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} \).
b) Tính \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx\).
c) Có nhận xét gì về giá trị của \(I\) và \(6J\)?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức nguyên hàm để tính \(\int {f\left( x \right)dx} \). Chọn hàm \(F\left( x \right)\), sau đó áp dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh \(I\) và \(6J\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {6{x^5}dx} = 6.\frac{{{x^6}}}{6} + C = {x^6} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = {x^6}\), khi đó \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = {2^6} - {0^6} = 64\).
b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^6 = \frac{{{2^6}}}{6} - \frac{{{0^6}}}{6} = \frac{{32}}{3}\).
c) Ta thấy rằng \(6J = 6.\frac{{32}}{3} = 64 = I\).
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} \)
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} \)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) để tính các tích phân.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx} = 4\left. {\left( {\frac{{{x^8}}}{8}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4\left[ {\frac{{{1^8}}}{8} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{8}} \right] = 0\).
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left( {\ln \left| { - 1} \right| - \ln \left| { - 2} \right|} \right) = \frac{{3\ln 2}}{{10}}\)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{{5^x}}}{{2.5}}dx} = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}dx} = \frac{1}{{10}}.\left. {\left( {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{{5^2}}}{{\ln 5}} - \frac{{{5^0}}}{{\ln 5}}} \right) = \frac{{12}}{{5\ln 5}}\)
KP4
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}\). Từ đó, tính \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \).
b) Tính \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)
c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
Phương pháp giải:
a) Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \), sau đó sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh kết quả hai câu trên và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).
TH4
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {{x^{ - 2}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 - \left. {\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \left( {\ln 2 - \ln 1} \right) - \left( {\frac{{{2^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{1^{ - 1}}}}{1}} \right) = \ln 2 + \frac{3}{2}\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {1 + 1 - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^\pi {dx} - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \)
\( = 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^\pi - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\pi - 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin 0} \right) = 2\pi \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4x - {x^2}} \right]dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} - 4x + 4 + 4x - {x^2}} \right)dx} } \)
\( = \int\limits_{ - 2}^1 {4dx} = \left. {4x} \right|_{ - 2}^1 = 4.1 - 4\left( { - 2} \right) = 12\)
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Thực hành
Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm \(P'\left( x \right)\) gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức \(P'\left( x \right) = 16 - 0,02x\) với \(0 \le x \le 100\). Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Phương pháp giải:
Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)dx} \).
Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\). Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm là \(P\left( {90} \right) = \left[ {P\left( {90} \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {P'\left( x \right)dx} + P\left( 0 \right)\).
Lời giải chi tiết:
Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\).
Lợi nhuận khi nhà máy bán 90 tân sản phẩm là:
\(P\left( {90} \right) = \left[ {P\left( {90} \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {P'\left( x \right)dx} + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} - 25\)
\( = \left( {16\int\limits_0^{90} {dx} - 0,02\int\limits_0^{90} {xdx} } \right) - 25 = 16\left. {\left( x \right)} \right|_0^{90} - 0,02\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{90} = 16\left( {90 - 0} \right) - 0,02\left( {\frac{{{{90}^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 1359\) (triệu đồng)
KP5
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\). Tính và so sánh kết quả:
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tích phân để tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh kết quả.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {2xdx} = 2\int\limits_0^2 {xdx} = 2\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 4\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} = 2\left( {\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {xdx} } \right) = 2\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right]\)\( = 2\left[ {\left( {\frac{{{1^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)} \right] = 4\)
Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
TH5
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).
b) Ta có \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)}\\{1 - x{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)}\end{array}} \right.\). Từ đó ta có \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) Ta có \(\left| {\cos x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x{\rm{ }}\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\\{ - \cos x{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\end{array}} \right.\).
Từ đó ta có \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} - 5\int\limits_{ - 1}^1 {dx} = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - 5\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {{1^4} - {{\left( { - 1} \right)}^4}} \right] - 5\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right] = - 10\)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3\)
\( = \left[ {\left( {1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) - \left( {0 - \frac{{{0^2}}}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{3^2}}}{2} - 3} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( { - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx} = \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)
\( = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \sin 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin \frac{\pi }{2}} \right) = 2\)
VD3
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Biết rằng tốc độ \(v\) (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như sau: \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5t{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\{{\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {2 \le t < 15} \right)}\\{4 - 0,2t{\rm{ }}\left( {15 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.
Phương pháp giải:
Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) của tích phân để tính \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(s\left( t \right)\) (km) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} + \int\limits_2^{15} {v\left( t \right)dt} + \int\limits_{15}^{20} {v\left( t \right)dt} \)
\( = \int\limits_0^2 {0,5tdt} + \int\limits_2^{15} {dt} + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt} = 0,5\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( t \right)} \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)
\(0,5\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {15 - 2} \right) + \left[ {\left( {4.20 - 0,{{1.20}^2}} \right) - \left( {4.15 - 0,{{1.15}^2}} \right)} \right] = 16,5\) (km)