Bài 1. 12 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Biết $\cos \alpha  =  - \frac{1}{5}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$, tính:

a) $\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right);$

b) $\tan \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right);$

c) $\sin \frac{\alpha }{2}.$

Lời giải chi tiết

a) ${\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = \frac{{24}}{{25}}$

$\Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$ (Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$)

$\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} =  - \frac{{1 + 6\sqrt 2 }}{{10}}$

b) $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 6$

$\tan \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} =  - \frac{{25 + 4\sqrt 6 }}{{23}}$

c) ${\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{2} = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$