Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$

b)     $\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}$ với $- \pi  < \alpha  < 0$

c)     $\tan \alpha  = 3$ với $- \pi  < \alpha  < 0$

d)     $\cot \alpha  =  - 2$ với $0 < \alpha  < \pi$

Lời giải chi tiết

a)  Ta có ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1$

mà $\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ nên ${\cos ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{16}}$

Lại có $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ nên $\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} =  - \sqrt {15} ;\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{1}{{\sqrt {15} }}$

b)

Ta có ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1$

mà $\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}$ nên ${\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{5}{9}$

Lại có $- \pi  < \alpha  < 0$ nên $\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Khi đó $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

c)

Ta có $\tan \alpha  = 3$ nên

$\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}}$

Mà ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{9}{{10}}$

Với $- \pi  < \alpha  < 0$ thì $\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{9}{{10}}}$

Với $- \pi  < \alpha  <  - \frac{\pi }{2}$ thì $\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{{10}}}$

và  $- \frac{\pi }{2} \le \alpha  < 0$ thì $\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{10}}}$

d)

Ta có $\cot \alpha  =  - 2$ nên

$\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{5}$

Mà ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{4}{5}$

Với $0 < \alpha  < \pi$ thì $\sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{1}{5}}$

Với $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ thì $\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{4}{5}}$

và  $\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi$ thì $\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{4}{5}}$