Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {BDD'B'} \right)$ vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD'$.

Lời giải chi tiết

a) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}$

$BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC \bot \left( {B{\rm{DD'B'}}} \right)\\AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {B{\rm{DD}}'B'} \right)$

b) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB\parallel C{\rm{D}}$

$CDD'C'$ là hình chữ nhật $\Rightarrow C{\rm{D}}\parallel C'{\rm{D}}'$

$\Rightarrow AB\parallel C'{\rm{D}}' \Rightarrow d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right)$

$A'B'C'D'$ là hình vuông $\Rightarrow C'D' \bot B'C'$

$CDD'C'$ là hình chữ nhật $\Rightarrow C'D' \bot CC'$

$\Rightarrow C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow C'D' \bot BC' \Rightarrow d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right) = BC'$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2$

$\begin{array}{l}CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {AC',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AC',AC} \right) = \widehat {CAC'} = {60^ \circ }\\ \Rightarrow CC' = AC.\tan \widehat {CAC'} = a\sqrt 6 \end{array}$

$\Delta BCC'$ vuông tại $C \Rightarrow BC{'^2} = \sqrt {B{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 7$

Vậy $d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = a\sqrt 7$.