Bài 8. 3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Chứng minh $MN \bot SC$.

Lời giải chi tiết

Vì $MN//SA$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó, $\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {CSA}$

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SAC$ có $SA = SC = a,AC = a\sqrt 2$$\Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = A{C^2}$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$ (theo định lí Pi-ta-go)

$\Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow MN \bot SC$