Câu 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?

Lời giải chi tiết

a. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.

Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.

b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.

Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :

$\eqalign{  & A{C^2} + A{D^2} = 2A{J^2} + {{C{D^2}} \over 2}  \cr  & B{C^2} + B{D^2} = 2B{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr}$

Từ đó ta có : $A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}$   (1)

Tương tự như trên ta cũng có :

$C{B^2} + C{A^2} = D{B^2} + D{A^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $A{D^2} - B{C^2} = B{C^2} - D{A^2},$ tức là DA = BC và từ (1) ta cũng có AC = BD.