Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

LG a

y = sin2x - 2cosx

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x \in\mathbb R$, ta có:

$y' = 2\cos 2x + 2\sin x$ $= 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x$

$=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2$

Vậy $y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin x = 1}  \cr   {\sin x = -{1 \over 2}}  \cr  } } \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k2\pi }  \cr   {x =  - {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.$

LG b

y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x \in\mathbb R$, ta có: $y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10$

Vậy $y' = 0$ $\Leftrightarrow 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10 = 0$ $\Leftrightarrow 3\cos 2x - 4\sin 2x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5$

$\Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)$

Vì ${\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1$ nên có số $α$ sao cho $\cos \alpha  = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha  = {3 \over 5}$

Thay vào (1), ta được :

$\eqalign{  & \sin 2x\cos \alpha  - \sin\alpha \cos 2x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = {\pi  \over 2} + k2\pi   \cr  &  \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha  + {\pi  \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$

LG c

$y = {\cos ^2}x + \sin x$

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x \in\mathbb R$, ta có: $y' =  - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + cosx$ $= cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)$

$\eqalign{  & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   { \cos x = 0 }  \cr   {1 - 2\sin x = 0 }  \cr  } } \right.   \cr  & \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k\pi}  \cr   {{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  } } \right. }  \cr  } } \right.  \cr}$

Vậy $x = {\pi  \over 2} + k\pi ;x = {\pi  \over 6} + k2\pi ;$ $x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)$

LG d

$y = \tan x + \cot x$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi  \over 2}  \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\cr &\Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \tan x =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 4} + k\pi \cr &k \in \mathbb Z \cr}$