Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau :

LG a

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x}{{{x^2}\left( {1 - {5 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^2}\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.{{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = + \infty \cr & \text{vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \,\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = 1 > 0 \cr}$

Cách khác:

LG b

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right] \end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}} = \frac{1}{{ - 2}} < 0 \end{array}$

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right) =  + \infty$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}=  + \infty$

Cách khác:

Với mọi $x < 0$, ta có  ${{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = {{{x^2}\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {1 - 2x}} = {{\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} = 1,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}} \right) = 0\,\text{ và }\,{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x} > 0$ với mọi $x < 0$

Nên  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = + \infty$