Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)$. Chứng minh rằng với mọi x ta có $\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.$ Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Lời giải chi tiết

Với mọi $x \in\mathbb R$, ta có:

$f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4$ $=  - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)$

Suy ra: $\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

$\eqalign{  & \sin 2\left( {4x - 1} \right) =  \pm 1  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi  \over 2} + k\pi   \cr  &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi  + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$