Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rẳng

LG a

mp(BDA’) // mp(B’D’C)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) thì (P)//(Q).

Lời giải chi tiết:

Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)

Tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C

$BD//B'D' \subset \left( {B'D'C} \right)$$\Rightarrow BD//\left( {B'D'C} \right)$

$DA'//CB' \subset \left( {B'D'C} \right)$$\Rightarrow DA'//\left( {B'D'C} \right)$

Mà $BD,DA' \subset \left( {A'BD} \right)$$\Rightarrow \left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)$

Vậy (BDA’) // (B’D’C).

LG b

Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G ₁ , G ₂ của hai tam giác BDA’ và B’D’C

Lời giải chi tiết:

Chứng minh G ₁ , G ₂ ∈ AC’

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G ₁ , G ₂ lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C.

Ta chứng minh G ₁ , G ₂ lần lượt là trọng tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.

Thật vậy, ta có ∆G ₁ OA đồng dạng ∆G ₁ A’C’ ( vì AC // A’C’)

$\Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}$

⇒ G ₁ là trọng tâm ∆A’BD.

Tương tự, G ₂ là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G ₁ , G ₂ .

LG c

G ₁ và G ₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Chứng minh AG ₁ = G ₁ G ₂ = G ₂ C’

Theo câu trên , ta có:

${{A{G_1}} \over {{G_1}C'}} = {{AO} \over {A'C'}} = {1 \over 2}$ ( vì ∆G ₁ OA đồng dạng ∆G ₁ A’C’) $\Rightarrow A{G_1} = {1 \over 3}AC'$  (1)

Tương tự: ${{C'{G_2}} \over {{G_2}A}} = {{C'O'} \over {CA}} = {1 \over 2}$ ( vì ∆G ₂ C’O' đồng dạng ∆G ₂ AC) $\Rightarrow C'{G_2} = {1 \over 3}AC'$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG ₁ = G ₁ G ₂ = G ₂ C’.

LG d

Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’,B’B cùng nằm trên một mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.

Ta có: $\left\{ {\matrix{   {MN//BD}  \cr   {SP//BD}  \cr } } \right. \Rightarrow MN//SP$

Gọi (α) = (MN, SP)

Ta có : $\left\{ {\matrix{   {PQ//DC'}  \cr   {MS//AB'}  \cr } } \right. \Rightarrow PQ//MS$

( vì DC’ // AB’)

⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).

Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).

Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).

Mặt khác vì $\left\{ {\matrix{   {MS//AB'}  \cr   {NP//AD'}  \cr } } \right.$  nên (MNPQRS) // (AB’D').