Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải các phương trình sau :

LG a

${\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0$

Phương pháp giải:

Hạ bậc giải phương trình, sử dụng công thức

$\begin{array}{l} {\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\ {\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} \end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{1 + \cos 2x} \over 2} - {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} = 0 \cr &\Leftrightarrow 1 + \cos 2x - 3 + 3\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow  - 2 + 4\cos 2x = 0\cr&\Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \cr}$

LG b

${\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t = \tan x + \cot x$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \tan x + \cot x$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2}\\ = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x\cot x\\ \ge 2\tan x\cot x + 2\tan x\cot x\\ = 2.1 + 2.1\\ = 4\\ \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \ge 2\\ t \le - 2 \end{array} \right. \end{array}$

Phương trình trở thành:

$\eqalign{& {t^2} - t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = - 1\,\left( \text{loại} \right)} \cr {t = 2} \cr} } \right. \cr & t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2 \cr&\Leftrightarrow \tan x + {1 \over {\tan x}} = 2 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \cr}$

LG c

$\sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5 \cr & \Leftrightarrow \sin x + {{1 - \cos x} \over 2} = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow \sin x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\cr& \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2}\cos x \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{2}\cr&\Leftrightarrow \tan x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \cr&\text{ trong đó }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr}$