Câu 38 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau :

LG a

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}}$

Lời giải chi tiết:

Dạng ${0 \over 0}$ ta phân tích tử và mẫu ra thừa số :

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + 2x + 4} \over {x + 2}} = 3 \cr}$

LG b

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = - \infty \cr}$

Vì  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0$ $\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ +}} \left( {x + 3} \right) = 0;$ ${\left( {x + 3} \right)} > 0,\forall x >  - 3$

LG c

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = + \infty \cr}$

Vì  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0$ $\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0;$ $x + 3 < 0, \forall x<-3$

LG d

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}$

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt {{x^3} + 1}  + 1$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\cr &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  + 1} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3}} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = 0 \cr}$