Câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải các phương trình sau :

LG a

$\tan {x \over 2} = \tan x$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ:  $\left\{ {\matrix{{\cos {x \over 2} \ne 0} \cr {\cos x \ne 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \pi + k2\pi \\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$

Ta có:$\tan {x \over 2} = \tan x$

$\Leftrightarrow x = {x \over 2} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = k2\pi \,$ (nhận)

LG b

$\tan \left( {2x + 10^\circ } \right) + \cot x = 0$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ:  $\left\{ {\matrix{{\cos \left( {2x + 10^\circ } \right) \ne 0} \cr {\sin x \ne 0} \cr} } \right.$

Ta có:

$\eqalign{ & \tan \left( {2x + 10^\circ } \right) + \cot x = 0 \cr&\Leftrightarrow \tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) =  - \cot x\cr&\Leftrightarrow \tan \left( {2x + 10^\circ } \right) = \tan \left( {90^\circ + x} \right) \cr & \Leftrightarrow 2x + 10^\circ = 90^\circ + x + k180^\circ\cr&\Leftrightarrow x = 80^\circ + k180^\circ \cr}$

Hiển nhiên $x = 80^0 + k180^0$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = 80^0 + k180^0$

LG c

$\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \tan x$, với điều kiện $\cos x ≠ 0$.

Ta có:  $\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {{2t} \over {1 + {t^2}}}$

Do đó :  $1 + \sin 2x = 1 + {{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{{{\left( {1 + t} \right)}^2}} \over {1 + {t^2}}}$

Vậy ta có phương trình:

$\eqalign{& \left( {1 - t} \right){{{{\left( {1 + t} \right)}^2}} \over {1 + {t^2}}} = 1 + t \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {1 + t} \right)^2} = \left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\Leftrightarrow 2{t^2}\left( {1 + t} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + t} \right)\left( {1 - {t^2}} \right) = \left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right) \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + t} \right)\left( {1 - {t^2} - 1 - {t^2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right)\left( { - 2{t^2}} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 0} \cr {t = - 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 0} \cr {\tan x = - 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right. (TM)\cr}$

LG d

$\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ :$\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 0.$ Với điều kiện đó, ta có :

$\eqalign{& \tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \sin 3x\cos x \cr& \Leftrightarrow \frac{{\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x\cr& \Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x \cr & \Leftrightarrow \sin 3x\left( {{1 \over {\cos x\cos 2x}} - \cos x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin 3x = 0} \cr {{1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x} \cr} } \right. \cr & +)\sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr & +){1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x\cr& \Leftrightarrow {\cos ^2}x\cos 2x = 1 \cr& \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.\cos 2x = 1\cr& \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x = 2 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + \cos 2x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \cr}$

Vậy phương trình có nghiệm  $x = k{\pi \over 3}\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

LG e

$\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ :$\cos x \ne 0,\sin 2x \ne 0$ và $\sin 4x \ne 0.$

Tuy nhiên chỉ cần $\sin 4x ≠ 0$ là đủ (vì $\sin 4x = 2\sin2x\cos2x = 4\sin x\cos x\cos2x$).

Với điều kiện đó ta có :

$\eqalign{& \tan x + \cot 2x = 2\cot 4x \cr & \Leftrightarrow {{\sin x} \over {\cos x}} + {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {{\sin x\sin 2x + \cos x\cos 2x} \over {\cos x\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr &  \Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x - x} \right)}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr &  \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin 2x\cos 2x}} \cr &  \Leftrightarrow 1 = \frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}}\cr& \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4x = \pm 2x + k2\pi \cr &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = k{\pi \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr}$

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện $\sin 4x ≠ 0$.

Ta có:

- Nếu $k$ chia hết cho 3, tức là $k = 3m$ ($m\in\mathbb Z$) thì $x = \frac{{3m\pi }}{3} = m\pi$ $\Rightarrow \sin 4x = \sin 4m\pi  = 0$ nên không thỏa mãn.

- Nếu $k$ không chia hết cho 3, tức là $k = 3m ± 1$ ($m\in\mathbb Z$)  thì :

$\sin 4x = \sin \left( { \pm {{4\pi } \over 3} + 4m\pi } \right)$ $= \pm \sin {4\pi \over 3} = \pm {{\sqrt 3 } \over 2} \ne 0$ (TM)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = k{\pi \over 3}$ với $k$ nguyên và không chia hết cho 3.