Câu 7 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Trong mặt phẳng cho một tập hợp $P$ gồm $n$ điểm. Hỏi :

LG a

Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

Phương pháp giải:

Giả sử $P{\rm{ }} = {\rm{ }}\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2};{\rm{ }}{A_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{A_n}\}$.

Với mỗi tập con $\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2}\} {\rm{ }}\left( {i{\rm{ }} \ne {\rm{ }}j} \right)$, ta tạo được đoạn thẳng ${A_i}{A_j}$.

Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm ${A_j},{\rm{ }}{A_i}$ tương ứng với tập con $\{ {A_j},{\rm{ }}{A_i}\}$.

Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng ${A_i}{A_j}$ và đoạn thẳng ${A_j}{A_i}$ chỉ là một đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách chọn ra 2 điểm trong tập hợp P có n điểm và nối chúng lại ta được một đoạn thẳng. (không phân biệt thứ tự)

Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc $P$ chính bằng số tổ hợp chập 2 của $n$ phần tử, tức là $C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}.$

LG b

Có bao nhiêu vecto khác vecto $\overrightarrow 0$ mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Phương pháp giải:

Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự $({A_i},{\rm{ }}{A_j}) (i ≠ j)$ ta tạo được một vecto $\overrightarrow {{A_i}{A_j}}$ ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự $({A_i},{\rm{ }}{A_j})$, $A_i$ là điểm gốc, $A_j$ là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì $\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \,và \,\overrightarrow {{A_j}{A_i}}$ là hai vecto khác nhau.

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách chọn ra 2 phân tử trong tập hợp P gồm n phần tử và sắp xếp thứ tự cho chúng sẽ được một véc tơ.

Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập $2$ của $n$ phần tử, tức là bằng  $A_n^2 = n\left( {n - 1} \right).$