Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 5 — Không quảng cáo

Đề bài

Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)

Câu 1: (ID: 592114) Câu nào sau đây không phải là mệnh đề?

A. Bạn bao nhiêu tuổi? B. Hôm nay là chủ nhật. C. Trái đất hình tròn. D. $4 \ne 5$

Câu 2 : (ID: 592018) Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khác $\vec 0$. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khi $2\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|$.

A. $\alpha {\rm{ \;}} = {180^0}.$ B. $\alpha {\rm{ \;}} = {120^0}.$ C. $\alpha {\rm{ \;}} = {90^0}.$ D. $\alpha {\rm{ \;}} = {60^0}.$

Câu 3: (ID: 592116) Cho tam giác ABC có M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Khi đó vectơ $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ}$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow {CB} .$ B. $\overrightarrow {BA} .$ C. $\vec 0.$ D. $\overrightarrow {BC} .$

Câu 4: (ID: 592117) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\angle BAC = {120^0}$. Độ dài cạnh BC bằng:

A. 10. B. $2\sqrt {13} .$ C. 12. D. $2\sqrt {37} .$

Câu 5: (ID: 592118) Cặp số (x;y) nào là sau đây là một nghiệm của bất phương trình x – y + 3 > 0.

A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4).

Câu 6: (ID: 592119) Cho hình bình hành ABCD. Nếu viết được $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = k\overrightarrow {AC}$ thì k bằng

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 7: (ID: 592120) Gọi a, b, c, r, R, S lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. $S = p.R$ với $p = \frac{{a + b + c}}{2}.$

B. $S = \frac{{abc}}{{4R}}$.

C. $S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ với $p = \frac{{a + b + c}}{2}.$

D. $S = \frac{1}{2}ab\cos C$.

Câu 8: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}$ là

A. $\left( { - 3; + \infty } \right)$. B. $\left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$. C. $\left( { - 3;1} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$. D. $\left( { - 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 9: (ID: 590741) Cho hai tập hợp $P = \left[ { - 4;5} \right)$ và $Q = \left( { - 3; + \infty } \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $P\backslash Q = \left[ { - 4; - 3} \right].$ B. $P \cap Q = \left( { - 3;5} \right].$

C. $P \cup Q = \left[ { - 4;5} \right).$ D. ${C_\mathbb{R}}P = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right).$

Câu 10: (ID: 592122) Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. $A \cap B \cap C.$ B. $\left( {A\backslash C} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right).$ C. $\left( {A \cup B} \right)\backslash C.$ D. $\left( {A \cap B} \right)\backslash C.$

Câu 11: (ID: 592123) Khoảng cách từ điểm A đến điểm B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 52 ⁰ 16’. Biết CA = 200m, BC = 180m. Tính khoảng cách từ A đến B (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 165m. B. 166m. C. 169m. D. 168m.

Câu 12: (ID: 590916) Biết $\sin x = \frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $P = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x$ là

A. $\frac{1}{2}$ B. $- \frac{1}{2}$ C. $- \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}$. Khi đó:

A. $f\left( x \right)$ tăng trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và giảm trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

B. $f\left( x \right)$ tăng trên hai khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

C. $f\left( x \right)$ giảm trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và giảm trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

D. $f\left( x \right)$ giảm trên hai khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Câu 14: (ID: 592124) Giá trị của biểu thức $A = {\sin ^2}{51^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{39^0} + {\sin ^2}{35^0}$ là:

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 15: (ID: 592125) Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA}$, $\overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB}$, $\overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}}$ đều bằng 100N và $\angle AMB = {60^0}$. Khi đó cường độ lực $\overrightarrow {{F_3}}$ là:

A. $50\sqrt 2 N$. B. $50\sqrt 3 N$. C. $25\sqrt 3 N$. D. $100\sqrt 3 N$.

Câu 16: Tọa độ đỉnh của parabol $y =  - 2{x^2} - 4x + 6$ là

A. $I\left( { - 1;8} \right)$ .                                  B. $I\left( {1;0} \right)$ .         C. $I\left( {2; - 10} \right)$ .                           D. $I\left( { - 1;6} \right)$ .

Câu 17 : (ID: 591056) Trong đợt hội diễn văn nghệ chào mừng 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia 3 tiết mục là hát tốp ca,  múa và diễn kịch. Trong danh sách đăng kí, có 7 học sinh đăng kí tiết mục hát tốp ca, 6 học sinh đăng kí tiết  mục múa, 8 học sinh đăng kí diễn kịch; trong đó có 3 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và tiết mục múa, 4 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và diễn kịch, 2 học sinh đăng kí cả tiết mục múa và diễn kịch, 1 học sinh đăng kí cả 3 tiết mục. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh đăng kí tham gia hội diễn văn  nghệ?

A. 14. B. 13. C. 21. D. 11.

Câu 18 : (ID: 591999) Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a, AD = 3a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính độ dài $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD}$.

A. 7a. B. $\frac{7}{2}a.$ C. $\frac{5}{2}a.$ D. 5a.

Câu 19: Biết đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a,\,b,\,c\, \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right)$ và có đỉnh $I\left( {1\,;\, - 1} \right)$. Tính giá trị biểu thức $T = {a^3} + {b^2} - 2c$.

A. $T = 22$. B. $T = 9$. C. $T = 6$. D. $T = 1$.

Câu 2 0 : Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình dưới

Phương trình của parabol này là

A. $y =  - {x^2} + x - 1$. B. $y = 2{x^2} + 4x - 1$. C. $y = {x^2} - 2x - 1$. D. $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Câu 21: (ID: 590911) Đường thẳng $- x + 3y > 2$ chia mặt phẳng tọa độ thành các miền như hình vẽ. Xác định miền nghiệm của $- x + 3y > 2$.

A. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.

B. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.

C. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.

D. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.

Câu 22: (ID: 590913) Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y > {\rm{ \;}} - 4}\\{3x - y < 5}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right.$.

A. $\left( { - 2, - 3} \right)$ B. $\left( {2, - 3} \right)$ C. $\left( {4,0} \right)$ D. $\left( {0,2} \right)$

Câu 23: (ID: 590761) Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $\cos B + \cos C = 2\cos A.$ B. $\sin B + \sin C = 2\sin A.$

C. $\sin B + \sin C = \frac{1}{2}\sin A.$ D. $\sin B + \cos C = 2\sin A.$

Câu 24: (ID: 591057) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA}$.

A. $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4.$ B. $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 4\sqrt 3 .$ C. $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4\sqrt 3 .$ D. $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 4.$

Câu 25: Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có bảng biến thiên dưới đây. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. $y = {x^2} + 2x - 2.$ B. $y = {x^2} - 2x - 2.$ C. $y = {x^2}{\rm{ +  3}}x - 2.$ D. $y =  - {x^2} - 2x - 2.$

Phần 2: Tự luận ( 5 điểm)

Câu 1: (ID: 592127) Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0$ và G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB}$.

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số $\frac{{KA}}{{KC}}.$

Câu 2:

a) Xác định parabol $(P):y = a{x^2} + bx + c$, biết rằng $(P)$ có đỉnh $I(2; - 1)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.

b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) tìm được.

Câu 3: (ID: 592128) Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn $4\sin A\tan A = \sin B\sin C$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức $S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}$.

----- HẾT -----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Cách giải:

Bạn bao nhiêu tuổi? là câu nghi vấn nên không phải là mệnh đề.

Chọn A.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: $\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\vec a.\vec b = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow  - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\left[ {1 + 2\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) =  - \frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec a \ne \vec 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b \ne \vec 0} \right)\end{array}$

$\Leftrightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = {120^0}.$

Chọn B.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Sử dụng hai vectơ bằng nhau.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BN} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BA} }\end{array}$

Chọn B.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos {{120}^0}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 148}\\{ \Rightarrow BC = \sqrt {148} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {37} .}\end{array}$

Chọn D.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Cặp số nào thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 0 – 4 + 3 > 0 => Sai.

Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2 – 5 + 3 > 0 => Sai.

Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 1 – 3 + 3 > 0 => Đúng.

Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 1 – 4 + 3 > 0 => Sai.

Chọn C.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Cách giải:

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow k = 2.}\end{array}$

Chọn C.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{{abc}}{{4R}}$, $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, $S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$, $S = p.R$ với $p = \frac{{a + b + c}}{2}.$

Cách giải:

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

$\sqrt {f(x)}$ xác định khi $f(x) \ge 0$

$\frac{1}{{g(x)}}$ xác định khi $g(x) \ne 0$

Cách giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \ge 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\x >  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số và thực hiện các phép toán trên tập hợp.

Cách giải:

$P\backslash Q = \left[ { - 4; - 3} \right] \Rightarrow A$ đúng.

$P \cap Q = \left( { - 3;5} \right) \Rightarrow B$ sai.

$P \cup Q = \left[ { - 4; + \infty } \right) \Rightarrow C$ sai.

${C_\mathbb{R}}P = \mathbb{R}\backslash P = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right) \Rightarrow D$ sai.

Chọn A.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp.

Cách giải:

Phần tô đậm trong hình vẽ biểu diễn cho tập hợp $\left( {A \cap B} \right)\backslash C.$

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C.$

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {{200}^2} + {{180}^2} - 2.200.180.\cos {{52}^0}16' \approx 28337}\\{ \Rightarrow AB \approx 168{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)}\end{array}$

Chọn D.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Dùng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để tính cos x

Cách giải:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin {x^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {{\cos }^2}x = 1 - {{\sin }^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}}\\{ \Rightarrow {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}$

Chọn B.

Câu 13 (VD):

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }} - 1\}$.

Xét ${x_1};\,{x_2}\, \in \,D$và${x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0$

Khi đó với hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}} = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}$

Trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0$nên hàm số nghịch biến.

Trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0$nên hàm số nghịch biến.

Vậy $y = \left| {x + 1} \right| - \left| {1 - x} \right|$không là hàm số chẵn.

Chọn C.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Nếu $\alpha {\rm{ \;}} + \beta {\rm{ \;}} = {90^0}$ thì $\sin \alpha {\rm{ \;}} = \cos \beta$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A = {{\sin }^2}{{51}^0} + {{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{39}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}{{39}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} - {{51}^0}} \right)} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} - {{55}^0}} \right)} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\cos }^2}{{51}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\cos }^2}{{55}^0}} \right)}\\{A = 1 + 1 = 2.}\end{array}$

Chọn D.

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

Vì M đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0$.

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Cách giải:

Vì M đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MD}$, với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMBD như hình vẽ.

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {MD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MD} }\\{ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MD} } \right| = MD}\end{array}$

Vì MA = MB = 100, $\angle AMB = {60^0}$ nên tam giác AMB đều $\Rightarrow MD = 100\sqrt 3$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 100\sqrt 3 N.$

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là $I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Tọa độ đỉnh của parabol $y =  - 2{x^2} - 4x + 6$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 2} \right)}} =  - 1\\y =  - 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 6 = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;8} \right)$.

Chọn A.

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng công thức $n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)$.

Cách giải:

Gọi A là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục tốp ca $\Rightarrow n\left( A \right) = 7.$

B là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục múa $\Rightarrow n\left( B \right) = 6.$

C là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục diễn kịch $\Rightarrow n\left( C \right) = 8.$

$\Rightarrow A \cap B:$ tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và múa $\Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 3.$

$A \cap C$: tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và diễn kịch $\Rightarrow n\left( {A \cap C} \right) = 4.$

$B \cap C$: tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục múa và diễn kịch $\Rightarrow n\left( {B \cap C} \right) = 2.$

$A \cap B \cap C$: tập hợp các bạn đăng kí cả 3 tiết mục tốp ca, múa và diễn kịch $\Rightarrow n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 1.$

$A \cup B \cup C$: tập hợp các bạn đăng kí ít nhất 1 tiết mục.

Ta có: $n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)$

$\Rightarrow n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 7 + 6 + 8 - 3 - 4 - 2 + 1 = 13.$

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hai vectơ bằng nhau, đưa về hai vectơ chung điểm đầu và cuối, sử dụng quy tắc ba điểm.

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OC}$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC$.

Áp dụng định lí Pytago ta có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = 5a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}a.$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = OC = \frac{5}{2}a.$

Chọn C.

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là $I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right)$ và có đỉnh $I\left( {1\,;\, - 1} \right)$ nên có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\b =  - 2a\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 2a\\ - a + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 4\\a = 2\end{array} \right.$.

Vậy $T = {a^3} + {b^2} - 2c = 22$.

Chọn A.

Câu 2 0 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là $I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)$ nên $c =  - 1$.

Tọa độ đỉnh $I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)$, ta có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 4\end{array} \right.$.

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Chọn D.

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Chọn điểm bất kì thỏa mãn bất phương trình để chọn miền nghiệm

Cách giải:

Vì O(0,0) không thuộc miền nghiệm nên nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d

Chọn D.

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Vẽ đồ thị hoặc thử các đáp án

Cách giải:

$\left( {0,2} \right)$ thỏa mãn 3 phương trình trong hệ phương trình nên chọn D

Chọn D.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Cách giải:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2R\sin A}\\{b = 2R\sin B}\\{c = 2R\sin C}\end{array}} \right.$.

Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b + c = 2a}\\{ \Leftrightarrow 2R\sin B + 2R\sin C = 2.2R\sin A}\\{ \Leftrightarrow \sin B + \sin C = 2\sin A.}\end{array}$

Chọn B.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}BC.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right).$

Vì tam giác ABC đều nên $\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \angle ABC = {60^0}$.

$\Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA}  =  - \frac{1}{2}.4.4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{ \;}} - 4\sqrt 3 .$

Chọn B.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là $I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Từ BBT ta có $a > 0$ nên loại đáp án D. Đỉnh $I\left( {1; - 3} \right)$ nên $- \frac{b}{{2{\rm{a}}}} = 1$

Đáp án A. $y = {x^2} + 2x - 2$ có $a = 1,b = 2 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1$ (Loại)

Đáp án B. $y = {x^2} - 2x - 2$ có $a = 1,b =  - 2 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 1$ (TM)

Đáp án C. $y = {x^2} + 3x - 2$ có $a = 1,b = 3 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} =  - \frac{3}{2}$ (Loại)

Chọn B.

Phần 2: Tự luận ( 5 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI.

Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.

b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương.

Cách giải:

a) Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: $3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow 3MB = MC \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}BI$.

=> M là trung điểm của BI.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IG}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} }\\{ = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}$

b) Đặt $\overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)$, ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GK} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AG} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {x - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} }\end{array}$

Vì M, G, K thẳng hàng nên $\frac{{x - \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{{12}}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{{12}}}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}.$

Vậy $\overrightarrow {AK} {\rm{\;}} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}$ nên $AK = \frac{2}{5}AC \Rightarrow \frac{{KA}}{{KC}} = \frac{2}{3}.$

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$ có đỉnh $\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$.

b) Sự biến thiên

* Vẽ đồ thị

+ Đỉnh I$\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

+ Trục đối xứng $x =  - \frac{b}{{2a}}$

+ Giao với các trục (nếu có)

+ Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng).

Cách giải:

a) Ta có: (P) giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -3 hay điểm (0;-3). Suy ra $a.0 + b.0 + c =  - 3 \Leftrightarrow c =  - 3$

Vì (P) có đỉnh I(2;-1) nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + ( - 3) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b = 4a\\4a + 2b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.$

Vậy parabol (P) là $y =  - \frac{1}{2}{x^2} + 2x - 3$

b) Hàm số $y =  - \frac{1}{2}{x^2} + 2x - 3$ có $a =  - \frac{1}{2} < 0$, đỉnh I(2;-1) nên có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên $( - \infty ;2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty )$

* Vẽ đồ thị

Đỉnh I(2;-1)

Trục đối xứng $x = 2$

Cắt trục tung tại A(0;-3) và không cắt Ox

Lấy B(4;-3) thuộc (P), đối xứng với A(0;-3) qua trục đối xứng

Lấy $C\left( {1; - \frac{3}{2}} \right),D\left( {3; - \frac{3}{2}} \right)$ thuộc (P).

Câu 3 (VDC):

Phương pháp:

Ta thường dùng các chữ cái in hoa để kí hiệu tập hợp và chữ cái in thường để kí hiệu phần tử thuộc tập hợp.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {\left( {\frac{2}{3}{m_b}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}{m_c}} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{2}{3}{m_a}} \right)^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{4}{9}{m_b}^2 + \frac{4}{9}{m_c}^2 + 4{m_a}^2\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{4}{9}.\left( {\frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}} \right) + 4.\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{4}{9}.\frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \frac{5}{9}{a^2}\end{array}$

Theo giả thiết ta có: $4\sin A\tan A = \sin B\sin C \Leftrightarrow 4{\sin ^2}A = \sin B\sin C\cos A{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin A = \frac{a}{{2R}}}\\{\sin B = \frac{b}{{2R}}}\\{\sin C = \frac{c}{{2R}}}\end{array}} \right.$

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)}^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow 4.\frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{bc}}{{4{R^2}}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow 4{a^2} = bc\cos A}\end{array}$

Lại theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{ \Rightarrow bc\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}\end{array}$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}\\{ \Leftrightarrow 8{a^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2}}\\{ \Leftrightarrow 9{a^2} = {b^2} + {c^2}}\end{array}$

Do đó: $S = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{19}}{9}.9{a^2} - \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{166{a^2}}}{9} = 166.$

Vậy S = 166.