Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 9
Câu 1: Tìm tập xác định ({rm{D}}) của hàm số (y = sqrt {6 - 3x} + frac{1}{{sqrt {x - 1} }}.) A. ({rm{D}} = left[ {1;2} right].) B. ({rm{D}} = left( {1;2} right).) C. ({rm{D}} = (1;2].) D. ({rm{D}} = left[ { - 1;2} right].)
Đề bài
I. Trắc nghiệm ( 6 điểm)
Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y=√6−3x+1√x−1.
A. D=[1;2]. B. D=(1;2). C. D=(1;2]. D. D=[−1;2].
Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “∀x∈R, x2+x+1>0”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là
A. “∀x∈R, x2+x+1<0”. B. “∀x∈R, x2+x+1≤0”.
C. “∃x∈R, x2+x+1≤0”. D. “∃x∈R, x2+x+1>0”.
Câu 3: Cho hàm số .y=√x−2−2x−6. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:
A. (6;0). B. (2;−0,5). C. (2;0,5). D. (0;6).
Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:
A. A={x∈R||x|<1} B. A={x∈Z|6x2−7x+1=0} C. A={x∈Z|x2−4x+2=0} D. A={x∈N|x2−4x+3=0}
Câu 5: Cho hai tập hợp A=(−∞;2] và B=(−3;5]. Tìm mệnh đề sai.
A. A∩B=(−3;2]. B. A∖B=(−∞;−3). C. A∪B=(−∞;5]. D. B∖A=(2;5].
Câu 6: Cho tập hợp: B={x;y;z;1;5}. Số tập hợp con của tập hợp B là
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
Câu 7: Hàm số y=ax2+bx+c, (a>0) nghịch biến trong khoảng nào sau đậy?
A. (−∞;−b2a). B. (−b2a;+∞). C. (−Δ4a;+∞). D. (−∞;−Δ4a).
Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. 2x2+3y>0 B. x2+y2<2 C. x+y2≥0 D. x+y≥0
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình (1+√3)x−(1−√3)y≥2 chứa điểm nào sau đây?
A. A(1;-1) B. B(-1;-1) C. C(-1;1) D. D(−√3;√3)
Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.
A. EF2=EG2+FG2+2EG.FG.cosG. B. EF2=EG2+FG2+2EG.FG.cosE.
C. EF2=EG2+FG2−2EG.FG.cosE. D. EF2=EG2+FG2−2EG.FG.cosG.
Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a và AD=a√2. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính →BK.→AC
A. →BK.→AC=→0 B. →BK.→AC=−a2√2 C. →BK.→AC=a2√2 D. →BK.→AC=2a2
Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cosA=35. Độ dài đường cao ha của tam giác ABC là:
A. 8. B. 8√3. C. 7√22. D. 7√2.
Câu 13: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là S(52;12)và đi qua A(1;−4)?
A. y=−x2+5x−8. B. y=−2x2+10x−12 .
C. y=x2−5x. D. y=−2x2+5x+12 .
Câu 14: Cho hệ bất phương trình {2x−5y−1>02x+y+5>0x+y+1<0. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
A. O(0;0) B. M(1;0) C. N(0;−2) D. P(0;2)
Câu 15: Cho parabol y=ax2+bx+c có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là
A. y=−x2+x−1. B. y=2x2+4x+1. C. y=x2−2x−1. D. y=2x2−4x−1 .
Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.
A. r=a√34 B. r=a√25 C. r=a√36 D. r=a√57
Câu 17: Tam giác ABC có AB=√2,AC=√3 và C=450. Tính độ dài cạnh BC.
A. BC=√5 B. BC=√6+√22 C. BC=√6−√22 D. BC=√6
Câu 18: Bảng biến thiên của hàm số y=−x2+2x−1 là:
A.
B.
C.
D.
Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?
A. (−3;+∞). B. (5;+∞). C. {−3;5} D. (−3;5].
Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số y=−3x2+2x+1 trên đoạn [1;3] là:
A. 45 B. 0 C. 13 D. −20
Câu 21: Cho hai vectơ →a và →b thỏa mãn |→a|=3, |→b|=2 và →a.→b=−3. Xác định góc α giữa hai vectơ →a và →b.
A. α=300. B. α=450. C. α=600. D. α=1200.
Câu 22: Cho tam giác cân ABC cóˆA=1200và AB=AC=a. Lấy điểm Mtrên cạnh BC sao cho BM=2BC5. Tính độ dài AM.
A. a√33 B. 11a5 C. a√75 D. a√64
Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
A. 2x−y<3 B. 2x−y>3 C. x−2y<3 D. x−2y>3
Câu 24: Cho góc α với 00<α<1800. Tính giá trị của cosα, biết tanα=−2√2.
A. −13. B. 13. C. 2√23. D. √23.
Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, ∠CAB=450, ∠CBA=700. Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 53 m B. 30 m C. 41,5 m D. 41 m
Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm thay đổi. Độ dài véctơ →u=→MA+→MB+→MC−3→MD là:
A. 4a√2 B. a√2 C. 3a√2 D. 2a√2
Câu 27: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. →AB.→AC=12a2. B. →AC.→CB=−12a2. C. →GA.→GB=16a2. D. →AB.→AG=12a2.
Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, →AB−→DC+→BC−→AD bằng véctơ nào sau đây?
A. →0 B. →BD C. →AC D. 2→DC
Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. →AC=→BD B. →AB+→AC+→AD=→0
C. |→AB−→AD|=|→AB+→AD| D. |→BC+→BD|=|→AC−→AB|
Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm G. Đặt →BC=→a,→BA=b. Hãy phân tích vectơ →BG theo →a và →b.
A. →BG=13→a+13→b B. →BG=23→a+23→b C. →BG=13→a+23→b D. →BG=23→a+13→b
II. Tự luận (4 điểm)
Câu 1: Cho ba lực →F1=→MA, →F2=→MB, →F3=→MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực →F1,→F2 đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M . Tìm hướng và cường độ lực →F3
Câu 2: Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB=12m , cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1,B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ^DA1C1=49∘ và ^DB1C1=35∘. Tính chiều cao CD của tháp đó.
Câu 3: Tìm parabol (P) y=ax2+bx+c biết (P) có đỉnh I(2;3) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
-----HẾT-----
Lời giải
I. Trắc nghiệm (6 điểm)
1. C |
2. C |
3. C |
4. C |
5. B |
6. D |
7.A |
8. D |
9. A |
10. D |
11. A |
12. C |
13. B |
14. C |
15. D |
16. C |
17. B |
18. A |
19. D |
20. B |
21. D |
22. C |
23. D |
24. C |
25. C |
26. D |
27. C |
28. A |
29.A |
30. A |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
- √P(x) có nghĩa khi P(x)≥0.
- Q(x)√P(x) có nghĩa khi P(x)>0.
Cách giải:
Hàm số y=√6−3x+1√x−1 xác định khi {6−3x≥0x−1>0⇔{x≤2x>1⇔1<x≤2
Vậy tập xác định D=(1;2]
Chọn C.
Câu 2 (TH):
Phương pháp:
Phủ định của mệnh đề “∀x∈K,P(x)” là mệnh đề “∃x∈K,¯P(x)”.
Cách giải:
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x): “∀x∈R, x2+x+1>0” là “∃x∈R, x2+x+1≤0”.
Chọn C.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào hàm số
Cách giải:
Với x=6,x=0thì y=√x−2−2x−6 không xác định. Suy ra điểm (6;0) và (0;6)không thuộc đồ thị hàm số
Với x=2 thì y=√2−2−22−6=0,5≠−0,5. Suy ra điểm (2;−0,5)không thuộc đồ thị hàm số, điểm (2;0,5) thuộc đồ thị hàm số
Chọn C.
Câu 4 (TH):
Phương pháp:
Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào.
Cách giải:
+) Xét đáp án A: {x∈R|x|<1⇒−1<x<1 ⇒A=(−1;1)≠∅
⇒ Loại đáp án A.
+) Xét đáp án B: 6x2−7x+1=0⇔[x=1x=16 ⇒A={1}≠∅
⇒ Loại đáp án B.
+) Xét đáp án C: x2−4x+2=0⇔[x=2+√2x=2−√2 ⇒A=∅
Chọn C.
Câu 5 (VD):
Phương pháp:
Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.
Cách giải:
+) A∩B=(−3;2]
=> A đúng.
+) A∖B=(−∞;−3]
=> B sai.
+) A∪B=(−∞;5]
=> C đúng.
+) B∖A=(2;5].
=> D đúng.
Chọn B.
Câu 6 (TH):
Phương pháp:
Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là 2n
Cách giải:
Tập hợp B={x;y;z;1;5} có 5 phần tử.
Số tập hợp con của tập B là: 25=32
Chọn D.
Câu 7 (NB):
Cách giải:
Với a>0, ta có bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên (−∞;−b2a).
Chọn A.
Câu 8 (TH):
Phương pháp:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax+by+c<0, ax+by+c>0, ax+by+c≤0, ax+by+c≥0, trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho a2+b2≠0.
Cách giải:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là x+y≥0.
Chọn D.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình.
Cách giải:
Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: (1+√3)+(1−√3)=2≥2 (Đúng).
Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Chọn A.
Câu 10 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định lí cosin trong tam giác: a2=b2+c2−2bc.cosA.
Cách giải:
EF2=EG2+FG2−2EG.FG.cosG là mệnh đề đúng.
Chọn D.
Câu 11 (VD):
Cách giải:
Ta có:
AC=BD=√AB2+AD2=√2a2+a2=a√3
Lại có:
{→BK=→BA+→AK=→BA+12→AD→AC=→AB+→AD
⇒→BK.→AC=(→BA+12→AD).(→AB+→AD)=→BA.→AB+→BA.→AD+12→AD.→AB+12→AD.→AD=−a2+0+0+12(a√2)2=0
Chọn A.
Câu 12 (VD):
Phương pháp:
Tính sinA.
Tính diện tích tam giác ABC: S=12bc.sinA.
Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: a2=b2+c2−2bc.cosA.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: S=12aha, từ đó tính ha.
Cách giải:
Ta có:
sin2A+cos2A=1⇔sin2A+(35)2=1⇔sin2A=1625
Vì 00<A<1800 nên sinA > 0 ⇒sinA=45.
Diện tích tam giác ABC là: S=12bc.sinA.=12.7.5.45=14.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
a2=b2+c2−2bc.cosA.=72+52−2.7.5.35=32⇒a=4√2.
Lại có: S=12aha⇒ha=2Sa=2.144√2=7√22.
Chọn C.
Câu 13 (TH):
Cách giải:
Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: y=ax2+bx+c(a≠0)
Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là S(52;12)và đi qua A(1;−4)
⇒{−b2a=52a.254+b.52+c=12a+b+c=−4⇔{−ba=525a+10b+2c=2a+b+c=−4⇔{5a+b=025a+10b+2c=2a+b+c=−4⇔{a=−2b=10c=−12
Chọn B.
Câu 14 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Cách giải:
Dễ thấy các điểm O(0;0), M(1;0), P(0;2) không thỏa mãn bất phương trình x+y+1<0 nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình.
Chọn C.
Câu 15 (TH):
Cách giải:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;−1) nên c=−1.
Tọa độ đỉnh I(1;−3), ta có phương trình: {−b2a=1a.12+b.1−1=−3 ⇔{2a+b=0a+b=−2 ⇔{a=2b=−4.
Vậy parabol cần tìm là: y=2x2−4x−1.
Chọn D.
Câu 16 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=pr.
Cách giải:
Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là p=a+a+a2=3a2.
Tam giác đều cạnh a có diện tích S=√3a2(3a2−a)(3a2−a)(3a2−a)=a2√34.
Lại có S=pr⇔r=Sp=a2√34:3a2=a√36.
Chọn C.
Câu 17 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: cosC=AC2+BC2−AB22AC.BC.
Cách giải:
Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:
cosC=AC2+BC2−AB22AC.BC⇔cos450=(√3)2+BC2−(√2)22.√3.BC⇔√6BC=BC2+1⇔BC2−√6BC+1=0⇔BC=√6+√22.
Chọn B.
Câu 18 (TH):
Phương pháp:
Số chính phương có các chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9. Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng.
Cách giải:
Hàm số y=−x2+2x−1 có a=−1<0, nên loại C,D.
Hoành độ đỉnh xI=−b2a=−22.(−1)=1
Chọn A.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Biểu diễn tập hợp trên trục số.
Cách giải:
Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp (−3;5]
Chọn D.
Câu 20 (VD):
Cách giải:
Ta có −b2a=13 và a=−3<0. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (13;+∞).
Mà [1;3]⊂(13;+∞).
Do đó trên đoạn [1;3] hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1, tức là max.
Chọn B.
Câu 21 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng công thức \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}
Cách giải:
Ta có \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} = - \frac{1}{2}
\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^o}
Chọn D.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
- Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC.
- Tính BM.
- Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM.
Cách giải:
BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2ABAC\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = a\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}
AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cos{{30}^0}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} - 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}.
Chọn C.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.
Cách giải:
Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B.
Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức x - 2y ta có: 0 - 2.0 = 0 < 3
Do đó bất phươn trình cần tìm là x - 2y > 3
Chọn D.
Câu 24 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức: 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}
Vì {0^0} < \alpha < {180^0} \Rightarrow \sin \alpha > 0.
Vậy \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.
Chọn C.
Câu 25 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC.
Cách giải:
Ta có: \angle ACB = {180^0} - {45^0} - {70^0} = {65^0}
Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có:
\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{70}^0}}} = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}.\sin {70^0} \approx 41,47\,\,\left( m \right)\end{array}
Chọn C.
Câu 26 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto \vec u.
Cách giải:
Vì ABCD là hình vuông nên ta có: AB = BC = CD = DA = 2; AC = BD = a\sqrt 2 .
Ta có:
\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD}
{\mkern 1mu} = \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) - 3\overrightarrow {MD}
{\mkern 1mu} = \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD}
= \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC}
= \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB}
= \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB}
= 2\overrightarrow {DB}
\Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {DB}
\Rightarrow \left| {\vec u} \right| = \left| {2.\overrightarrow {DB} } \right| = 2.a.\sqrt 2 {\rm{\;}} = 2\sqrt 2 a
Chọn D.
Câu 27 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng tích vô hướng \overrightarrow a .\overrightarrow b = a.b.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)
Cách giải:
Ta có:
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos A = {a^2}\cos {60^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2} => A đúng
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.CB.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } = - \frac{1}{2}{a^2} => B đúng
+ AG = \frac{2}{3}AM;AM = AC.\sin C = a.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
\Rightarrow AG = BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}
\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = GA.GB.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^ \circ } = - \frac{1}{6}{a^2} => C sai.
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = AB.AG.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2} => D đúng.
Chọn C.
Câu 28 (NB):
Phương pháp:
Nhóm \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ; \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} , áp dụng quy tắc cộng vectơ.
Cách giải:
Ta có: \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0.
Chọn A.
Câu 29 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc hình bình hành tính \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} .
Tính độ dài vectơ vừa tìm được.
Cách giải:
Ta có: \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a.
Chọn A.
Câu 30 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.
Cách giải:
\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}
\Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}
Mặt khác, \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b nên ta có: \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b
Vậy \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b.
Chọn A.
II. Tự luận (3 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc hình bình hành.
Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0.
Cách giải:
Có cường độ lực \overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M
\Rightarrow Tam giác MAB vuông cân tại M
Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông
\Rightarrow MD = \sqrt {M{A^2} + A{D^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} {\rm{\;}} = 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N
Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0
\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0 hay \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0
\Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} } \right) = {\rm{\;}} - \overrightarrow {MD}
Vậy lực \overrightarrow {{F_3}} có hướng ngược với \overrightarrow {MD} và có cường độ bằng 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \approx 70,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N
Câu 2 (VD):
Cách giải:
Ta có: \widehat {D{A_1}B} = {180^ \circ } - {49^ \circ } = {131^ \circ };\widehat {{A_1}D{B_1}} = {49^ \circ } - {35^ \circ } = {14^ \circ }
Áp dụng định lý sin trong tam giác D{A_1}{B_1} ta có:
\begin{array}{l}\frac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin \widehat {{A_1}D{B_1}}}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin \widehat {D{A_1}{B_1}}}} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin {{131}^ \circ }}}\\ \Rightarrow D{B_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}\end{array}
Lại có: \Delta D{C_1}{B_1} vuông tại {C_1} nên D{C_1} = D{B_1}.\sin {B_1} = D{B_1}.\sin {35^ \circ }
\Rightarrow D{C_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}.\sin {35^ \circ } \approx 5,37
Chiều cao CD của tháp là 5,37 + 2 = 7,37(m)
Vậy tháp cao khoảng 7,37m.
Câu 3 (VD):
Cách giải:
Parabol (P) y = a{x^2} + bx + c giao với Oy tại điểm có tọa độ (0;c), do đó c = - 1
(P) có hoành độ đỉnh {x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a
Điểm I(2;3) thuộc (P) nên a{.2^2} + b.2 - 1 = 3 hay 4a + 2b = 4
Từ đó ta có hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 4\\b = - 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = - 1\end{array} \right.
Vậy parabol cần tìm là y = - {x^2} + 4x - 1
* Vẽ parabol
Đỉnh I(2;3)
Trục đối xứng x = 2
Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(4;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng
Lấy điểm C(1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.