Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 6

Câu 1: Tìm tập xác định ${\rm{D}}$ của hàm số $y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} .$ A. ${\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].$ B. ${\rm{D}} = \left( {1;2} \right).$ C. ${\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].$ D. ${\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].$

Đề bài

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tìm tập xác định ${\rm{D}}$ của hàm số $y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} .$

A. ${\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].$ B. ${\rm{D}} = \left( {1;2} \right).$ C. ${\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].$ D. ${\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].$

Câu 2: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5$ ” là:

A. “ $\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5$ ”. B. “ $\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5$ ”. C. “ $\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5$ ”. D. “ $\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5$ ”.

Câu 3: Cho tập hợp $D = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0} \right\}$ . Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó.

A. D = {2;3}. B. D = {0;1;2}. C. D = {1;2}. D. D = {0;2;3}.

Câu 4: Xét sự biến thiên của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ , nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

B. Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ , nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ .

C. Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ , nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$ .

Câu 5: Cho hai tập hợp $A = \left( { - \infty ; - 2} \right]$ và $B = \left( { - 3;5} \right]$ . Tìm mệnh đề sai.

A. $A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right].$ B. $A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)$ . C. $A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]$ . D. $B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]$ .

Câu 6: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ ?

A. ${A_1} = \left\{ {1;6} \right\}.$ B. ${A_2} = \left\{ {0;1;3} \right\}.$ C. ${A_3} = \left\{ {4;5} \right\}.$ D. ${A_4} = \left\{ 0 \right\}.$

Câu 7: Cho parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ . Điểm nào sau đây là đỉnh của $\left( P \right)$ ?

A. $I\left( {0;1} \right)$ . B. $I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)$ . C. $I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)$ . D. $I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)$ .

Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2{x^3} + 1 \ge y + 2{x^2}.$ B. $2x - 6y + 5 < 2x - 6y + 3.$

C. $2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2}.$ D. $4{x^2} < 2x + 5y - 6.$

Câu 9: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $3x + 2y < 10$ ?

A. (5;1). B. (4;2). C. (1;5). D. (1;2).

Câu 10: Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

A. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.$ B. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.$

C. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.$ D. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.$

Câu 11: Cho parabol $\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n$ ( $m,\,n$ là tham số). Xác định $m,\,n$ để $\left( P \right)$ nhận đỉnh $I\left( {2;\, - 1} \right)$ .

A. $m = 4,\,n = - 3$ . B. $m = 4,\,n = 3$ . C. $m = - 4,\,n = - 3$ . D. $m = - 4,\,n = 3$ .

Câu 12: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}.$ Độ dài đường cao ${h_a}$ của tam giác ABC là:

A. $8.$ B. $8\sqrt 3 .$ C. $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.$ D. $7\sqrt 2 .$

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ đồ thị như hình. Tính giá trị biểu thức $T = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ .

A. $0$ . B . $26$ . C. $8$ . D. $20$ .

Câu 14: Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\3x + 4y < 2\end{array} \right.$ . B. $x - y > 0$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + 2y - 3 > 0\\5x - y > 2\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.$ .

Câu 15: Giá trị của biểu thức $T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}$ bằng:

A. 3. B. $- \frac{1}{2}$ . C. 1. D. $\frac{1}{2}$ .

Câu 16: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và h _c là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.

A. ${S_{ABC}} = ab\sin C.$ B. ${S_{ABC}} = pr.$ C. ${S_{ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}.$ D. ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.$

Câu 17: Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, $\angle C = {60^0}$ . Tính độ dài cạnh AB.

A. $\sqrt {13} .$ B. $\sqrt 7 .$ C. $\frac{{\sqrt {34} }}{2}.$ D. $\frac{{\sqrt {46} }}{2}.$

Câu 18: Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số $y = - {x^2} + 2x + 2$ ?

A. . B. .

C. . D.

Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

A. $\left( {0;1} \right).$ B. $\left( {1; + \infty } \right).$ C. $\left[ {1; + \infty } \right).$ D. $\left( {0;1} \right].$

Câu 20: Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai ?

A. $\sin \alpha = \sin \beta .$ B. $\cos \alpha = - \cos \beta .$ C. $\tan \alpha = - \tan \beta .$ D. $\cot \alpha = \cot \beta .$

Câu 21: Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0$ . B. $a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c > 0$ . C. $a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c > 0$ . D. $a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0$ .

Câu 22: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, $AC = 2\sqrt 7$ . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

A. $AM = 3\sqrt 2 .$ B. $AM = 4\sqrt 2 .$ C. $AM = 2\sqrt 3 .$ D. $AM = 3.$

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. $2x + y < 1.$ B. $2x - y > 1.$ C. $x + 2y > 1.$ D. $2x + y > 1.$

Câu 24: Cho góc $\alpha$ với ${0^0} < \alpha < {180^0}$ . Tính giá trị của $\cos \alpha$ , biết $\tan \alpha = - 2\sqrt 2$ .

A. $- \frac{1}{3}.$ B. $\frac{1}{3}.$ C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$ D. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}.$

Câu 25: Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

A. 135,7km. B. 237,5km. C. 110km. D. 137,5km.

Câu 26. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $MABC$ là hình bình hành. B. $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .$

C. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} .$ D. $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} .$

Câu 27. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC}$ B. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB}$

C. $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD}$ D. $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD}$

Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh $OA = a$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = 5a$ B. $\left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 5a$

C. $\left| {7\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} } \right| = 5a$ D. $\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 5a$

Câu 29. Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Tính $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .$

A. $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.$ B. $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.$

C. $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.$ D. $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.$

Câu 30. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right).$

A. $P = 2\sqrt 2 a.$ B. $P = 2{a^2}.$ C. $P = {a^2}.$ D. $P = - 2{a^2}.$

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AB} = 0$

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

c) Chứng minh rằng $G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$ , với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Câu 2: (1 điểm) Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB = 70{\rm{m}}$ , phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc ${30^0}$ , phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc ${15^0}30'$ . Tìm độ cao của ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất.

Câu 3: (1,5 điểm) Xác định và vẽ đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là $- 3$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{{25}}{8}$ tại $x = \frac{1}{4}$ .

-----HẾT-----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Trắc nghiệm ( 6 điểm)

1. A	6. C	11. D	16. A	21. A	26. D
2.A	7. B	12. C	17. B	22. C	27. A
3. A	8. C	13. B	18. C	23. D	28. C
4. A	9. D	14. D	19. C	24. A	29. A
5. B	10. D	15. D	20. D	25. D	30. D

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

$\sqrt {f(x)}$ xác định khi $f(x) \ge 0$ .

Cách giải:

Hàm số $y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1}$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 \ge 3x\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$

Do đó tập xác định là ${\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].$

Chọn A.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của $\forall$ là $\exists$ , phủ định của > là $\le$ .

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5$ ” là “ $\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5$ ”.

Chọn A.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Viết tập hợp theo cách liệt kê các phần tử.

Cách giải:

Giải phương trình $x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.$ .

Mà $x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3} \right\}.$

Vậy D = {2;3}.

Chọn A.

Câu 4 (TH):

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }}0\}$

Xét ${x_1};\,{x_2}\, \in \,D$ và ${x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0$

Khi đó với hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}^2}} - \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}$

Trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ $\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0$ nên hàmsố đồng biến.

Trên $\left( {0; + \infty } \right)$ $\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0$ nên hàm số nghịch biến.

Chọn A.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) $A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right]$

=> A đúng.

+) $A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]$

=> B sai.

+) $A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]$

=> C đúng.

+) $B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]$ .

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B.

Cách giải:

${A_3} = \left\{ {4;5} \right\} \subset A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ .

Chọn C.

Câu 7 (TH):

Cách giải:

Hoành độ đỉnh của $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ là $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ .

Vậy $I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)$ .

Chọn B.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

$ax + by \le c$ ( $ax + by \ge c$ , $ax + by < c$ , $ax + by > c$ )

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Cách giải:

Ta có: $2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2} \Leftrightarrow y - 1 \le 0$ nên đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn C.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Thay các tọa độ điểm vào bất phương trình, điểm nào thỏa mãn bất phương trình thì thuộc miền nghiệm của bất phương trình đó.

Cách giải:

+) Thay tọa độ điểm (5;1) vào bất phương trình ta có: 3.5 + 2.1 < 10 (Vô lí) => (5;1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (4;2) vào bất phương trình ta có: 3.4 + 2.2 < 10 (Vô lí) => (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;5) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.5 < 10 (Vô lí) => (1;5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;2) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.2 < 10 (Đúng) => (1;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.$

Cách giải:

$E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G$ là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Cách giải:

Parabol $\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n$ nhận $I\left( {2;\, - 1} \right)$ là đỉnh, khi đó ta có

$\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m + n = - 1\\ - \frac{m}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 5\\m = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = - 4\end{array} \right.$ .

Vậy $m = - 4,\,n = 3$ .

Chọn D.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2}bc.\sin A.$

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.$

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}a{h_a}$ , từ đó tính ${h_a}$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}$

Vì ${0^0} < A < {180^0}$ nên sinA > 0 $\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}$

Lại có: $S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Do đồ thị hàm số có đỉnh là $I\left( {2; - 1} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 1\end{array} \right.$ $\left( 1 \right)$

Do đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;3} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow c = 3$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow T = 26$

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn D.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Cách giải:

$\begin{array}{l}T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\\T = 2 + {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\\T = \frac{1}{2}.\end{array}$

Chọn D.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.$

Cách giải:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C$ nên đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: $A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C$ .

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC:

$\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^2} + {3^2} - 2.1.3.\cos {60^0} = 7\\ \Rightarrow AB = \sqrt 7 .\end{array}$

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Cách giải:

Hàm số $y = - {x^2} + 2x + 2$ là hàm số bậc hai, có $a = - 1 < 0,b = 2$

=> Loại A, D.

Parabol có hoành độ đỉnh $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1$ => Loại B

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp $\left[ {1; + \infty } \right).$

Chọn C.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau ta có: $\sin \alpha = \sin \beta ,$ $\cos \alpha = - \cos \beta$ , $\tan \alpha = - \tan \beta$ , $\cot \alpha = - \cot \beta .$

Cách giải:

$\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau nên $\sin \alpha = \sin \beta ,$ $\cos \alpha = - \cos \beta$ , $\tan \alpha = - \tan \beta$ , $\cot \alpha = - \cot \beta .$

Vậy đẳng thức ở đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 21 (TH):

Cách giải:

Parabol có bề lõm quay lên $\Rightarrow a > 0$ loại D.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0$ loại B, C.

Chọn A.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABC tính cosB: $\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}$ .

Tính BM, CM.

Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABM tính AM: $A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\end{array}$

Vì MC = 2MB, BC = 6 nên $BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có:

$\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {2^2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12\\ \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 .\end{array}$

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án B, C.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình $2x + y < 1$ ta có: 2.0 + 0 < 1 (Đúng) => Loại.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình $2x + y > 1$ ta có: 2.0 + 0 > 1 (Vô lí) => Thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\end{array}$

Vì ${0^0} < \alpha < {180^0}$ $\Rightarrow \sin \alpha > 0$ . Mà $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0$ nên $\cos \alpha < 0$ .

Vậy $\cos \alpha = - \frac{1}{3}.$

Chọn A.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Hướng N30 ⁰ E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30 ⁰ và tạo với hướng đông một góc ${90^0} - {30^0} = {60^0}$ .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Cách giải:

Hướng N30 ⁰ E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30 ⁰ và tạo với hướng đông một góc ${90^0} - {30^0} = {60^0}$ .

A là vị trí cảng.

Ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ đi được quãng đường AB = 50.3 = 150 (km).

Tàu cá đi theo hướng N30 ⁰ E từ A đến C, sau 3 giờ đi được quãng đường AC = 40.3 = 120 (km).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {60^{}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {150^2} + {120^2} - 2.150.120.\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18\,900\\ \Rightarrow BC = 30\sqrt {21} \approx 137,5.\end{array}$

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5km.

Chọn D.

Câu 26.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow MABC$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB} .$

Do đó D sai.

Chọn D.

Câu 27.

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ hay $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC}$

Vậy A đúng.

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$ => B sai.

$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {CD}$ => C sai

$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC}$ => D sai.

Chọn A.

Câu 28.

Cách giải:

Ta có: $OA = OB = a$

$\Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a$ . Vậy B đúng.

Tương tự, ta có $\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 11a - 6a = 5a$ . Do đó D đúng.

Lấy C, D sao cho $\overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OB} ;$

Dựng hình bình hành OCED. Do $\widehat {AOB} = {90^ \circ }$ nên OCED là hình chữ nhật.

Ta có: $3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}$

$\Rightarrow \left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE$

Lại có: $OC = 3OA = 3a,OD = 4OB = 4a.$

$\Rightarrow OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}} = 5a$

Do đó A đúng.

Chọn C

Câu 29.

Cách giải:

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

Khi đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}$

Chọn A.

Câu 30.

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD = a\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD} \end{array} \right.$

Khi đó $P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).2\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} + \vec 0$

$= - 2BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - 2.a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 2{a^2}$

Chọn D.

II. Tự luận ( 4 điểm)

Câu 1 (TH):

Cách giải:

a) Ta có:

$= \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot (\overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MB}}} (\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MC}}} (\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} ) =$

$= \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}}$

$= \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} = 0$

${\rm{M}}{{\rm{A}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MA}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}}$

${\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MB}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}}$

${\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MC}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}}$

$\Rightarrow {\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2(\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} )$

$= 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} (\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} ) = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}$

c) Vì ${\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}$ đúng với M bất kì.

Chọn ${\rm{M}} \equiv {\rm{A}}$ ta được:

${\rm{A}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{A}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}$

$\Leftrightarrow {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}$

Tương tự,

${\rm{M}} \equiv {\rm{B}} \Rightarrow {\rm{B}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = 4\;{\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}$

${\rm{M}} \equiv {\rm{C}} \Rightarrow {\rm{C}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2}$

Thay $AB = c,AC = b,BC = a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6\left( {{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}} \right) = 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} = \frac{1}{3}\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\end{array}$

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có

$\widehat {CAB} = {60^^\circ },\widehat {ABC} = {105^^\circ }30'$ và $c = 70$

Khi đó $\hat A + \hat B + \hat C = {180^^\circ } \Leftrightarrow \hat C = {180^^\circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^^\circ } - {165^^\circ }30' = {14^^\circ }30'$

Theo định lí sin, ta có $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$ hay $\frac{b}{{\sin {{105}^^\circ }30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}}$

Do đó $AC = b = \sin {105^^\circ }30'\frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}} \approx 269,4m$

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc ${30^^\circ }$ nên $CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7m$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm $A\left( {0;c} \right)$ $\Rightarrow c = - 3$ .

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{{25}}{8}$ tại $x = \frac{1}{4}$ nên đỉnh của đồ thị hàm số là $I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 = - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.$