Giải bài 1.62 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) sin3x=−√32;
b) tan(x3+100)=−1√3;
c) sin3x−cos5x=0;
d) tan3xtanx=1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng cách giải phương tình sinx=m (1)
+ Nếu |m|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu |m|≤1 thì tồn tại duy nhất số α∈[−π2;π2] thỏa mãn sinα=m.
Khi đó, phương trình (1) tương đương với:
sinx=m⇔sinx=sinα⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z)
- Nếu góc α được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:
sinx=sinα0⇔[x=α0+k3600x=1800−α+k3600(k∈Z)
- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: sinu=sinv⇔[u=v+k2πx=π−v+k2π(k∈Z)
b) Sử dụng cách giải phương tình cosx=m (2)
+ Nếu |m|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu |m|≤1 thì tồn tại duy nhất số α∈[−π2;π2] thỏa mãn cosα=m.
Khi đó, phương trình (1) tương đương với:
cosx=m⇔cosx=cosα⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z)
- Nếu góc α được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:
cosx=cosα0⇔[cos=α0+k3600cos=−α+k3600(k∈Z)
- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: cosu=cosv⇔[u=v+k2πx=−v+k2π(k∈Z)
c) Sử dụng cách giải phương trình tanx=m(3)
Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Luôn tồn tại duy nhất số α∈(−π2;π2) thoả mãn tanα=m
Khi đó, phương trình (3) tương đương với:
tanx=m⇔tanx=tanα⇔x=α+kπ(k∈Z)
- Nếu góc α được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:
tanx=tanα0⇔x=α0+k1800(k∈Z)
- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: tanu=tanv⇔u=v+kπ(k∈Z)
Lời giải chi tiết
a) sin3x=−√32⇔sin3x=sin(−π3)⇔[3x=−π3+k2π3x=π+π3+k2π⇔[x=−π9+k2π3x=4π9+k2π3(k∈Z)
b) tan(x3+100)=−1√3⇔tan(x3+100)=tan(−300)⇔x3+100=−300+k1800
x=−1200+k5400(k∈Z)
c)sin3x−cos5x=0⇔sin3x=sin(π2−5x)⇔[3x=π2−5x+k2π3x=π−(π2−5x)+k2π⇔[x=π16+kπ4x=−π4−kπ(k∈Z)
d) Điều kiện: cos3x≠0,cosx≠0⇔cos3x≠0
tan3xtanx=1⇔tan3x=cotx⇔tan3x=tan(π2−x)⇔3x=π2−x+kπ
x=π8+kπ4(k∈Z) (thỏa mãn)