Giải bài 1. 9 trang 8 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Kim giờ dài 6cm và kim phút dài 11cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Một giờ kim phút quét được một vòng, tương ứng với góc lượng giác $2\pi$; kim giờ quét được 1/12 vòng, tương ứng với góc $2\pi .\frac{1}{{12}} = \frac{\pi }{6}$.

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là: $2\pi  - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}$.

Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc 4/12 vòng tương ứng là $\frac{4}{{12}}.2\pi  = \frac{{2\pi }}{3}$.

Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là

$\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}$ (giờ).

Vậy sau $\frac{1}{{11}}$ (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

$l = \alpha .R = 6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi  = \frac{{23\pi }}{{11}}(cm)$.