Giải Bài 1 trang 60 sách bài tập toán 7 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh
Đề bài
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:
|
a) \({S_{AMB}} = {S_{AMC}}\) |
b) \({S_{ABG}} = 2{S_{BMG}}\) |
c) \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\) |
Phương pháp giải - Xem chi tiết
So sánh đường cao và các cạnh đáy tương ứng của các tam giác
Lời giải chi tiết
a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau: BM = CM
Suy ra: \({S_{AMB}} = {S_{AMC}}\)(vì \({S_{AMB}} = \frac{1}{2}.AH.BM{;^{}}{S_{AMC}} = \frac{1}{2}.AN.CM\))
b) Vẽ đường cao BK của tam giác BGM.
Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2MG.
Suy ra: \({S_{ABG}} = \frac{1}{2}.BK.AG = \frac{1}{2}.BK.2MG = 2.\frac{1}{2}.BK.MG = 2{S_{BMG}}\)
c) Ta có:
\({S_{ABG}} = \frac{2}{3}{S_{ABM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Tương tự: \({S_{ACG}} = \frac{2}{3}{S_{ACM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Suy ra: \({S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)