Giải bài 10 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {2;1; - 4} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {3; - 4;5} \right)$;

b) $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {5; - 2;1} \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a  = \left( {3; - 1;4} \right),\overrightarrow b  = \left( {0;2; - 1} \right)$;

c) $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {0;3;7} \right),B\left( {2; - 5;4} \right)$ và $C\left( {1; - 4; - 1} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$3\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} - 4y + 5z + 18 = 0$.

b) Ta có: $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 7;3;6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$- 7\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y + 2} \right) + 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 7x + 3y + 6z + 35 = 0$.

c) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 8; - 3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 7; - 8} \right)$.

Khi đó, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {43;13; - 6} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$43\left( {x - 0} \right) + 13\left( {y - 3} \right) - 6\left( {z - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 43x + 13y - 6z + 3 = 0$.