Giải bài 12 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng d:x+y+2=0, đường tròn (C):x2+y2−4x+8y−5=0.
Đề bài
Cho đường thẳng d:x+y+2=0, đường tròn (C):x2+y2−4x+8y−5=0.
a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu M′=ĐOx(M) thì biểu thức tọa độ {xM′=xMyM′=−yM
Nếu M′=ĐOy(M) thì biểu thức tọa độ {xM′=−xMyM′=yM
Lời giải chi tiết
a) Chọn điểm M(−1;−1)∈d:x+y+2=0.
Ta đặt M′=ĐOx(M).
Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ
Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó yN=0, suy ra xN=−2.Do đó N(−2;0).
Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm M′(−1;1) và N(−2;0).
Ta có: →M′N=(−1;−1)⇒→nd′=(1;−1)
Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến →nd′=(1;−1) nên có phương trình là:
1.(x+2)−1.(y−0)=0⇔x−y+2=0.
b) Đường tròn (C):x2+y2−4x+8y−5=0 có tâm I(2; –4), bán kính R=√22+(−4)2−(−5)=5
Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy.
Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ĐOy. và có bán kính R′=R=5.
Ta đặt I′=ĐOy(I).
Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy
Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐOy. là: (x+2)2+(y+4)2=25.