Giải bài 13 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d:{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}6y{rm{ }}-{rm{ }}5{rm{ }} = {rm{ }}0.)
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:x+6y−5=0.
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M≠O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu ĐO. Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
Nếu M′=ĐI(M) thì {xM′+xM=2xIyM′+yM=2yI (I là trung điểm của MM')
Lời giải chi tiết
a) Chọn điểm A(−1;1)∈d.
Ta đặt A′=ĐO(A).
Suy ra O là trung điểm của AA’.
Do đó {xA′=2xO−xA=2.0+1=1yA′=2yO−yA=2.0−1=−1
Vì vậy A’(1; –1).
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến →n=(1;6)
Gọi d’ là ảnh của d qua suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận →n=(1;6) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận →n=(1;6) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1.(x−1)+6.(y+1)=0⇔x+6y+5=0.
b) Ta đặt A″
Suy ra M là trung điểm AA”.
Do đó \left\{ \begin{array}{l}{x_{A''}} = 2{x_M} - {x_A} = 2.4 + 1 = 9\\{y_{A''}} = 2{y_M} - {y_A} = 2.6 - 1 = 11\end{array} \right.
Vì vậy A”(9; 11).
Gọi d” là ảnh của d qua {Đ_M},\; suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận \vec n = \left( {1;6} \right) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận \vec n = \left( {1;6} \right) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}75{\rm{ }} = {\rm{ }}0.