Giải bài 14 trang 92 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M,N lần lượt trên cạnh AB,AC sao cho AM=AN.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M,N lần lượt trên cạnh AB,AC sao cho AM=AN.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân
b) Xác định vị trí các điểm M,N để BM=MN=NC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào định nghĩa của hình thang cân:
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Vì hai tam giác AMN và ABC đều cân tại A nên
^AMN=^ABC (cùng bằng 180∘−ˆA2)
Mà ^AMN và ^ABC nằm ở vị trí đồng vị, suy ra MN//BC.
Tứ giác BMNC có MN//BC và ^MBC=^NCB nên BMNC là hình thang cân.
b) Do BM=MN nên tam giác MBN cân tại M. Suy ra ^MNB=^MBN. Mà ^MNB=^NBC (hai góc so le trong), suy ra ^MBN=^NBC. Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.
Chứng minh tương tự ta được CM là tia phân giác của góc ACB.
Dễ thấy, nếu các điểm M,N được xác định sao cho BM,CN lần lượt là tia phân giác của góc ABC,ACB thì BN=MN=CN.
Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB,N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN=MN=CN.