Giải bài 17 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh: a) EB.EA=EI.EO b) AB2=AC.AD
Đề bài
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
a) EB.EA=EI.EO
b) AB2=AC.AD
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Chứng minh OI⊥CD.
Bước 2: Chứng minh ⇒ΔAED∽.
b) Bước 1: Chứng minh A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = O{A^2} - {R^2}
Bước 2: Chứng minh AC.AD = O{A^2} - {R^2}
Lời giải chi tiết
a) Kẻ OC, OD; suy ra OC = OD = Rnên tam giác OCD cân tại O.
Có AB là tiếp tuyến của (O) nên \widehat {OBE} = \widehat {OBA} = 90^\circ .
Xét tam giác OCD cân tại O có OI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của CD) nên OI đồng thời là đường cao, do đó OI \bot CD hay \widehat {OIC} = \widehat {OID} = \widehat {AIE} = 90^\circ .
Xét 2 tam giác EOB và EAI có:
\widehat {OBE} = \widehat {AIE}\left( { = 90^\circ } \right)
\widehat E chung
Suy ra \Delta EOB\backsim \Delta EAI(g.g), do đó \frac{{EB}}{{EI}} = \frac{{EO}}{{EA}} hay EB.EA = EI.EO.
b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAB ta có:
A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = O{A^2} - {R^2}
Mặt khác, AC.AD = \left( {AI - CI} \right)\left( {AI + DI} \right), mà DI = CI, suy ra
\begin{array}{l}AC.AD = \left( {AI - CI} \right)\left( {AI + CI} \right)\\ = A{I^2} - C{I^2}\\ = A{I^2} - \left( {O{C^2} - O{I^2}} \right)\\ = A{I^2} - O{C^2} + O{I^2}\\ = A{I^2} - {R^2} + O{A^2} - A{I^2}\\ = O{A^2} - {R^2}\end{array}
Do đó A{B^2} = AC.AD\left( { = O{A^2} - {R^2}} \right)