Giải bài 17 trang 90 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và (widehat {BAC} < {90^o}). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh: a) AH = EH b) (widehat {DCE} = widehat {ABD}).
Đề bài
Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và ^BAC<90o . Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:
a) AH = EH
b) ^DCE=^ABD .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác HAE cân tại H suy ra AH = EH.
Sử dụng tính chất bắc cầu: ^DCE=^ACH mà ^ACH=^ABH nên ^DCE=^ABD
Lời giải chi tiết
a) Do tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của BC nên ^BAH=^HAC (1). Vì các tam giác AHD và AED lần lượt vuông tại H và E nên tứ giác AHED nội tiếp đường tròn đường kính AD suy ra ^ADH=^AEH (2). Mặt khác ^ADH=^BAH (3) (vì cùng cộng với ^HAC bằng 90 o ).
Từ (1), (2), (3) suy ra ^HAC=^AEH. Do đó, tam giác HAE cân tại H. Vì vậy AH = EH.
b) Ta có ^DCE=^ACH (đối đỉnh) mà ^ACH=^ABH (do tam giác ABC cân tại A) nên ^DCE=^ABH hay ^DCE=^ABD.