Giải bài 2. 12 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

a) Giả sử G là một đồ thị với n đỉnh và $\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + 2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh G có một chu trình Hamilton.

b) Tìm một đồ thị với n đỉnh và $\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + 1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.

Lời giải chi tiết

a) Định lí Ore: Nếu G là một đồ thị có n đỉnh $\left( {n \ge 3} \right)$ và mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn n thì G có một chu trình Hamilton.

Ta có lí thuyết: Giả sử G là đồ thị đơn gồm n đỉnh và m cạnh. Nếu $m \ge \;\frac{{{n^2} - 3n\; + 6}}{2}$ thì G là đồ thị có chu trình Hamilton.

Áp dụng vào bài toán ta được điều phải chứng minh.

b) Ta có đồ thị sau có 5 đỉnh, 7 cạnh và đồ thị không có chu trình Hamilton.