Giải bài 2.13 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ Kn có một chu trình Euler? Có một đường đi Euler?
Đề bài
Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ K n có một chu trình Euler? Có một đường đi Euler?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần.
Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết
Đồ thị đầy đủ \({K_n}\) có \(n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}2,{\rm{ }}n\; \in \;\mathbb{N}.\)
Đồ thị đầy đủ \({K_n}\) là đồ thị liên thông.
Mỗi đỉnh của \({K_n}\) đều có bậc là n – 1.
+) Theo định lí Euler, K n có chu trình Euler khi K n liên thông (đã thỏa mãn) và mọi đỉnh của K n đều có bậc chẵn, điều này có nghĩa để K n có một chu trình Euler thì n – 1 phải là số chẵn hay n phải là số lẻ, tức là \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}(k\; \in \;{\mathbb{N}^*}).\) Vậy với \(\;n{\rm{ }} = {\rm{ }}2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}(k\; \in \;{\mathbb{N}^*})\) thì đồ thị đầy đủ K n có một chu trình Euler.
+) Đồ thị K n có một đường đi Euler từ A đến B khi và chỉ khi K n liên thông và mọi đỉnh của K n đều có bậc chẵn, chỉ trừ A và B có bậc lẻ. Mà mọi đỉnh của K n đều có bậc là n – 1, nghĩa là mọi đỉnh của K n đều có bậc chẵn hoặc đều có bậc lẻ.
- Với n = 2, ta có K 2 có 2 đỉnh đều có bậc là 1 (là bậc lẻ) nên ta có đường đi Euler từ đỉnh này qua đỉnh còn lại.
- Với n > 2, n ∈ ℕ * thì mọi đỉnh của K n đều có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ lớn hơn 2, do đó không thỏa mãn điều kiện để K n có đường đi Euler.
Vậy đồ thị đầy đủ K n có một đường đi Euler khi n = 2.