Giải bài 2 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho các dãy số (un) và (vn) thỏa mãn lim. Tìm \lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}.
Đề bài
Cho các dãy số \left( {{u_n}} \right) và \left( {{v_n}} \right) thỏa mãn \lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4. Tìm \lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b và c là hằng số: \lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b, \lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a, \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b, \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0 với k là số nguyên dương, \lim c = c (c là hằng số)
Lời giải chi tiết
Ta có: \lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4 \Rightarrow \lim {u_n} - \lim {v_n} = 4 \Rightarrow \lim {v_n} = \lim {u_n} - 4 = 2 - 4 = - 2
Do đó, \lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}} = \frac{{3\lim {u_n} - \lim {v_n}}}{{\lim {u_n}\lim {v_n} + 3}} = \frac{{3.2 - \left( { - 2} \right)}}{{2.\left( { - 2} \right) + 3}} = \frac{8}{{ - 1}} = - 8