Giải bài 2 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) lim; b) \lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}; c) \lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}; d) \lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}; e) \lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right); g) \lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}.
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}};
b) \lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}};
c) \lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}};
d) \lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}};
e) \lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right);
g) \lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b và c là hằng số: \lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b, \lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a, \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b, \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0 với k là số nguyên dương, \lim c = c (c là hằng số)
Lời giải chi tiết
a) \lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{6 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\lim 2 - \lim \frac{3}{n}}}{{\lim 6 + \lim \frac{1}{n}}} = \frac{{2 - 0}}{{6 + 0}} = \frac{1}{3};
b) \lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}} = \lim \frac{{\frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\lim \frac{3}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\lim 1 + \lim \frac{1}{n}}} = \frac{0}{{1 + 0}} = 0;
c) \lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}} = \lim \frac{{\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}{{2 + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \left( {2 - \frac{1}{n}} \right)\lim \left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}{{\lim \left( {2 + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{{2.2}}{2} = 2;
d) \lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{{4 + \lim \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \lim \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{4}{{1 + 1}} = 2;
e) \lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \lim \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}
= \lim \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}
g) \lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} + n}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + n} + n} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} + n}}{n} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}}{1} = \frac{{\sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} + 1}}{1} = 2