Giải bài 2 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết $SA = a$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là ${60^0}$. Tính độ dài SI.

Lời giải chi tiết

Kẻ $AK \bot ID$ tại K. Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot ID$, mà $AK \bot ID$ nên $ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK$

Ta có: $AK \bot ID,ID \bot SK,AK \subset \left( {ABCD} \right),SK \subset \left( {SID} \right)$, ID là giao tuyến của hai mặt phẳng SID và ABCD. Do đó, $\left( {\left( {SID} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK,AK} \right) = \widehat {SKA} = {60^0}$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),AD,AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD,SA \bot AK$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A có:

$SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5$

Tam giác SAK vuông tại A nên: $\sin \widehat {SKA} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{\sin \widehat {SKA}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác SID vuông tại S, đường cao SK có:

$\frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}}$ $\Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} - \frac{1}{{S{D^2}}} = \left( {\frac{9}{{12{a^2}}}} \right) - \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{20{a^2}}}$ $\Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}$