Giải bài 2 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

SBT Toán 11 - Giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 CTST


Giải bài 2 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là \({60^0}\). Tính độ dài SI.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(AK \bot ID\) tại K. Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot ID\), mà \(AK \bot ID\) nên \(ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK\)

Ta có: \(AK \bot ID,ID \bot SK,AK \subset \left( {ABCD} \right),SK \subset \left( {SID} \right)\), ID là giao tuyến của hai mặt phẳng SID và ABCD. Do đó, \(\left( {\left( {SID} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK,AK} \right) = \widehat {SKA} = {60^0}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AD,AK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD,SA \bot AK\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A có:

\(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

Tam giác SAK vuông tại A nên: \(\sin \widehat {SKA} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{\sin \widehat {SKA}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác SID vuông tại S, đường cao SK có:

\(\frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} - \frac{1}{{S{D^2}}} = \left( {\frac{9}{{12{a^2}}}} \right) - \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{20{a^2}}} \) \( \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}\)


Cùng chủ đề:

Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 57 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 2 trang 60 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 2 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 63 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 2 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 2 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 73 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 2 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1