Giải bài 2 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $AB \bot CD$ và $AC \bot BD$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của $\Delta$BCD. Và $AD \bot BC$

Lời giải chi tiết

Vì H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) nên $AH \bot \left( {BCD} \right)$

Mà $CD,BD,BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot CD,AH \bot BD,AH \bot BC$

Vì $AH \bot CD$, $AB \bot CD$ nên $CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot BH$

Vì $AH \bot BD$, $AC \bot BD$ nên $BD \bot \left( {AHC} \right) \Rightarrow BD \bot HC$

$\Delta$BCD có hai đường cao BH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm của $\Delta$BCD.

Do đó, $BC \bot DH$

Lại có: $AH \bot BC$ nên $BC \bot \left( {ADH} \right)$. Mà $AD \subset \left( {ADH} \right)$ nên $BC \bot AD$