Giải bài 2 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó. a) y=3sinx+2tanx3; b) y=cosxsinπ−x2.
Đề bài
Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.
a) y=3sinx+2tanx3;
b) y=cosxsinπ−x2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số để chứng minh: Hàm số y=f(x) với tập xác định D được gọi là:
+ Hàm số chẵn nếu với mọi x∈D ta có: −x∈D và f(−x)=f(x).
+ Hàm số lẻ nếu với mọi x∈D ta có: −x∈D và f(−x)=−f(x).
- Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số y=f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T≠0 sao cho với mọi x∈D ta có x±T∈D và f(x+T)=f(T). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y=f(x).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: D=R∖{3π2+k3π|k∈Z}
Vì x±6π∈D với mọi x∈D và
3sin(x+6π)+2tanx+6π3=3sinx+2tan(x3+2π)=3sinx+2tanx3
Do đó, hàm số y=3sinx+2tanx3 là hàm số tuần hoàn.
Vì −x∈D với mọi x∈D và
3sin(−x)+2tan−x3=−3sinx−2tanx3=−(3sinx+2tanx3)
Suy ra hàm số y=3sinx+2tanx3 là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số y=cosxsinπ−x2 là: D=R
Vì x±4π∈D với mọi x∈D và
cos(x+4π)sinπ−(x+4π)2=cosxsin(π−x2−2π)=cosxsinπ−x2
Do đó, hàm số y=cosxsinπ−x2 là hàm số tuần hoàn.
Vì −x∈D với mọi x∈D và
y=cos(−x)sinπ−(−x)2=cosxsin(π−π−x2)=cosxsinπ−x2
Suy ra hàm số y=cosxsinπ−x2 là hàm số chẵn.