Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos(2x+100)=sin(500−x); b) 8sin3x+1=0;
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos(2x+100)=sin(500−x);
b) 8sin3x+1=0;
c) (sinx+3)(cotx−1)=0;
d) tan(x−300)−cot500=0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình:
a) Phương trình cosx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [0;π] sao cho cosα=m.
Đặc biệt: cosu=cosv⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=−v+k2π(k∈Z)
cosu=cosa0⇔u=a0+k3600(k∈Z) hoặc u=−a0+k3600(k∈Z)
b) Phương trình sinx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=π−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [−π2;π2] sao cho sinα=m.
c) + Phương trình sinx=m có nghiệm khi |m|≤1.
+ Với mọi số thực m, phương trình cotx=m có nghiệm x=α+kπ(k∈Z) với α là góc thuộc (0;π) sao cho cotα=m.
d) Với mọi số thực m, phương trình tanx=m có nghiệm x=α+kπ(k∈Z) với α là góc thuộc (−π2;π2) sao cho tanα=m.
Lời giải chi tiết
a) cos(2x+100)=sin(500−x) ⇔cos(2x+100)=cos[900−(500−x)]
⇔[2x+100=400+x+k36002x+100=−(400+x)+k3600(k∈Z) ⇔[x=300+k3600x=−5003+k1200(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=300+k3600(k∈Z);x=−5003+k1200(k∈Z)
b) 8sin3x+1=0 ⇔sin3x=(−12)3 ⇔sinx=−12 ⇔sinx=sin−π6
⇔[x=−π6+k2πx=π−−π6+k2π(k∈Z) ⇔[x=−π6+k2πx=7π6+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=−π6+k2π(k∈Z);x=7π6+k2π(k∈Z)
c) (sinx+3)(cotx−1)=0 ⇔cotx=1 (do sinx+3>1 với mọi số thực x)
⇔x=π4+kπ(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π4+kπ(k∈Z)
d) tan(x−300)−cot500=0 ⇔tan(x−300)=cot500 ⇔tan(x−300)=tan400
⇔x−300=400+k1800(k∈Z) ⇔x=700+k1800(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=700+k1800(k∈Z)