Giải bài 2 trang 38 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho parabol (P) có phương trình (y = {x^2}). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P)
Đề bài
Cho parabol (P) có phương trình y=x2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P)
a) Tại điểm (−1;1);
b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y=−3x+2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0;f(x0)).
Tiếp tuyến M0T có phương trình là: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)
Lời giải chi tiết
Với x0 bất kì ta có:
y′(x0) =lim = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}
Do đó, y' = 2x
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm \left( { - 1;1} \right) là: y'\left( { - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) = - 2
b) Hoành độ giao điểm của (P) với đường thẳng y = - 3x + 2 là nghiệm của phương trình: {x^2} = - 3x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.
Do đó, k = y'\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \right) = - 3 + \sqrt {17}, k = y'\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}} \right) = - 3 - \sqrt {17}
Vậy hệ số góc tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = - 3x + 2 là: k = - 3 + \sqrt {17} ;k = - 3 - \sqrt {17}