Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $BD,CE$. Tia phân giác của các góc $ACE,ABD$ cắt nhau tại $O$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tia $BN$ cắt $CE$ tại $K$, tia $CM$ cắt $BD$ tại $H$. Chứng minh:

a)     $BN \bot CM$

b)    Tứ giác $MNHK$ là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a)     Do tam giác $ABD$ vuông tại $D$ và tam giác $ACE$ vuông tại $E$ nên $\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ$. Suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$.

Mà $BN$ và $CM$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat {ABD}$ và $\widehat {ACE}$, suy ra $\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}$.

Do tam giác $CEM$ vuông tại $E$ nên $\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ$ hay $\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ$.

Do đó ta tính được $\widehat {BOM} = 90^\circ$. Vậy $BN \bot CM$.

b)    $\Delta BMO = \Delta BHO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $OM = OH$

$\Delta CNO = \Delta CKO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $ON = OK$.

Tứ giác $MNHK$ có hai đường chéo $MH$ và $NK$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $MNHK$ là hình bình hành.

Hình bình hành $MNHK$ có $MH \bot NK$ nên $MNHK$ là hình thoi.