Giải bài 3. 10 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong HĐ7, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số $\frac{{IA}}{{OA}}$ , chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì $p = q = r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC.

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên . (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $OM = \frac{1}{2}BC$  hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có $2O{B^2}\; = {\rm{ }}B{C^2}.$

Do đó: $2O{B^2}\; = {\rm{ }}4O{M^2}$. Suy ra $O{M^2}\; = \frac{1}{2}O{A^2}.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Tam giác OIM vuông tại I có: $O{I^2}\; + {\rm{ }}I{M^2}\; = {\rm{ }}O{M^2}.{\rm{ }}\left( 3 \right)$

Mà $O{I^2}\; = {\rm{ }}O{A^2}\;-{\rm{ }}I{A^2}$ (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: $O{A^2} - I{A^2} + \frac{1}{4}I{A^2} = \frac{1}{2}O{A^2}$

Suy ra $\frac{{I{A^2}}}{{O{A^2}}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{IA}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, $p = q = r = \frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.