Giải bài 3.44 trang 90 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Chứng minh rằng:
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Trong một hình bình hành (không là hình thoi), các tia phân giác của các góc cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.
b) Trong một hình chữ nhật (không là hình vuông), các tia phân giác của các góc cắt nhau tạo thành một hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào tính chất hình bình hành, hình chữ nhật hình vuông để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Ta có hình bình hành ABCD:
Ta có ^EAB=^AED ( sole trong)
Lại có ^EAB=^HCD (đường phân giác của hai góc đối trong hình bình hành)
→ ^AED=^HCD
→ AE//HC
→ IL//JK (1)
Có ^FDC=^ABG (đường phân giác của hai góc đối trong hình bình hành)
Mà ^ABG=^BGC (sole trong)
→ DF//BG
→ IJ//LK (2)
Từ (1) và (2) suy ra IJKL là hình bình hành
Ta có ^AED=^EAB
Mà ^EAB+^CDF=90∘ (phân giác của hai góc kề trong hình bình hành)
→ ^AED=^CDF=90∘
→ ^DIE=90∘
→ ^JIL=90∘
→ IJKL là hình chữ nhật.
b) Cho hình chữ nhật ABCD:
ABCD là hình chữ nhật =>ˆA=ˆB=90∘
AF,BF lần lượt là phân giác của ˆA,ˆB=>^BAF=^ABF=12ˆA=12ˆB=1290∘=45∘
Xét tam giác ABF có: ^BAF+^ABF+^AFB=180∘
2^BAF+^AFB=180∘=>^AFB=180∘−2^BAF=180∘−2.45∘=90∘
Chứng minh tương tự, ta có ^DHC=90∘,^AED=90∘
Tứ giác EFGH có ^AFB=90∘,^DHC=90∘,^AED=90∘ nên EFGH là hình chữ nhật.
Xét ΔADE và ΔBCG có:
^ADE=^GCB=45∘AD=BC^DAE=^CBG=45∘=>ΔADE=ΔBCG(g−c−g)=>AE=BG
ΔABF cân ở F (vì ^BAF=^ABF=45∘) =>AF=BF
Ta có:
{AF=AE+EFBF=BG+GF mà {AE=BGAF=BF, suy ra EF=GF
Hình chữ nhật EFGH có EF=GF nên EFGH là hình vuông