Giải bài 32 trang 74 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ba điểm A (-2 ; 2), B (7 ; 5), C (4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2 x + y – 4 = 0

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B

b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |$\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}$| có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M(t;4 - 2t) \in \Delta$

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = (t + 2; - 2t + 2)$, $\overrightarrow {BM}  = (t - 7; - 2t - 1)$

Theo giả thiết, M cách đều hai điểm A và B $\Rightarrow AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2}$

$\Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {( - 2t + 2)^2} = {(t - 7)^2} + {( - 2t - 1)^2}$

$\Leftrightarrow  - 4t + 8 =  - 10t + 50 \Leftrightarrow 6t = 42 \Leftrightarrow t = 7$

Vậy M (7 ; -10)

b*) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (9;3),\overrightarrow {AC}  = (6; - 7)$

Vì $\frac{9}{6} \ne \frac{3}{{ - 7}}$ nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương $\Rightarrow A,B,C$ không thẳng hàng

Gọi G là trọng tâm ∆ ABC $\Rightarrow G\left( {3;\frac{2}{3}} \right)$ và $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

Xét $\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GC} } \right|$$= \left| {3\overrightarrow {NG} } \right| = 3NG$

$\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ N là hình chiếu của G trên ∆

Gọi d là đường thẳng đi qua G , vuông góc với ∆

∆ có VTPT $\overrightarrow n  = (2;1)$ $\Rightarrow$ ∆ có một VTCP là $\overrightarrow u  = (1; - 2)$

Do $d \bot \Delta$ nên d nhận $\overrightarrow u  = (1; - 2)$làm VTPT $\Rightarrow$ d có PT: 3 x – 6 y – 5 = 0

N là giao điểm của d và ∆ $\Rightarrow$ tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\3x - 6y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{{15}}\\y = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Vậy $N\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)$