Giải Bài 36 trang 78 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).
Đề bài
Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC ( Hình 24 ).
Chứng minh:
a) ∆AMC = ∆ABN;
b) BN vuông góc với CM.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét các điều kiện về cạnh và góc để chứng minh ∆AMC = ∆ABN
- Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh cho BN vuông góc với CM.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
^MAC=^MAB+^BAC=90∘+^BAC
^MAC=^MAB+^BAC=90∘+^BAC
Suy ra: ^MAC=^NAB
Xét ∆AMC và ∆ABN có:
MA = AB (giả thiết),
^MAC=^NAB (chứng minh trên),
AC = AN (giả thiết)
Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).
Vậy ∆AMC = ∆ABN.
b) Do ∆AMC = ∆ABN (chứng minh câu a)
Suy ra ^ACM=^ANB (hai góc tương ứng).
Mặt khác, ^KIC+^AIN (đối đỉnh).
Suy ra ^ACM+^KIC=^ANB+^AIN
Xét ∆AIN vuông tại A có: ^ANI+^AIN=90∘ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Hay ^ANB+^AIN=90o
Do đó ^ACM+^KIC=90∘ hay ^ICK+^KIC=90∘
Xét ∆KIC, có: ^ICK+^KIC+^IKC=180∘ (tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra ^IKC=180∘−(^ICK+^KIC)=180∘−90∘=90∘
Do đó BN vuông góc với MC.
Vậy BN vuông góc với MC.