Giải bài 4. 21 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow a  = ( - 3;1),\;\overrightarrow b  = (2;6)$

b) $\overrightarrow a  = (3;1),\;\overrightarrow b  = (2;4)$

c) $\overrightarrow a  = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b  = (2; - \sqrt 2 )$

Lời giải chi tiết

a)

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ( - 3).2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$ hay $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}$.

b)

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương do $\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}$

Hơn nữa: $\overrightarrow b  = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) =  - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) =  - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;$; $- \sqrt 2  < 0$

Do đó: $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+  $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}$: nếu $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

+ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương:

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^o}$ nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$ nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.