Giải bài 4. 25 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 10, giải toán lớp 10 kết nối tri thức với cuộc sống Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto Toán 10 Kết nối tri


Giải bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi vế trái, đưa về công thức \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}bc.\sin A\)

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

+) \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \) với mọi \(\alpha \).

Lời giải chi tiết

Đặt \(A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \)

\(= \dfrac{1}{2}\sqrt { A{B^2}.A{C^2}- {{\left(|{\overrightarrow {AB}| .|\overrightarrow {AC}|. \cos BAC} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}.A{C^2}.{{\cos }^2}A }\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}\)

Mà \(1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A} \)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\) (Vì \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\))

Do đó \(A = {S_{ABC}}\) hay \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\) (đpcm)


Cùng chủ đề:

Giải bài 4. 20 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 21 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 22 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 23 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 24 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 25 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 26 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 27 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 28 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 29 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4. 30 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức