Giải bài 4. 24 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC}  = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC}  = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}}  = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}}  = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}$$\Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}$

$\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$\Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}$

$\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5$; $\widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.$

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH}  = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AH \bot BC$ và $BH \bot AC$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0$ và $\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0$

Do đó $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0$.

Mà:  $\overrightarrow {BC}  = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow  - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Và $\overrightarrow {AC}  = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}$

Vậy H có tọa độ $\left( {\frac{1}{2}}; 1 \right)$