Giải bài 43 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} =  - 1$, $q = 3$.

a)    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b)    Giả sử tổng $m$ số hạng đầu của $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $- 364$. Tìm $m$

c)     Tính tổng $S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}$.

Lời giải chi tiết

a) Do $q = 3$ nên tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ là:

${S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} =  - \frac{{{3^{10}} - 1}}{2}$

b) Do tổng của $m$ số hạng đầu là $- 364$, nên ta có ${S_m} = {u_1}\frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} =  - 364$

$\Rightarrow \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^m}}}{{1 - 3}} =  - 364 \Rightarrow \frac{{{3^m} - 1}}{2} = 364 \Rightarrow {3^m} - 1 = 728 \Rightarrow {3^m} = 729 \Rightarrow m = 6$.

Vậy $m = 6$.

c) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}$. Ta có $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} :\frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{{\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}}} = \frac{1}{3}$.

Như vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{ - 1}} =  - 1$ và công bội $q' = \frac{1}{3}$.

Vậy $S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = {v_1} + {v_2} + {v_3} + {v_4} + {v_5}$

$= v{\rm{\_1}}\frac{{1 - {{\left( {q'} \right)}^5}}}{{1 - q'}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^5}}}{{1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)}} =  - \frac{{121}}{{81}}$