Giải bài 43 trang 23 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y = 3\sin x + 5$

b) $y = \sqrt {1 + \cos 2x}  + 3$

c) $y = 4 - 2\sin x\cos x$

d) $y = \frac{1}{{4 - \sin x}}$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Do $- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow  - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow 2 \le 3\sin x + 5 \le 8$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi $\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Hàm số xác định khi $1 + \cos 2x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ge  - 1$ (luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$)

Do đó, tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Vì $- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x}  \le \sqrt 2$

$\Rightarrow 3 \le \sqrt {1 + \cos 2x}  + 3 \le 3 + \sqrt 2$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3 + \sqrt 2$ khi $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \Leftrightarrow x = k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi $\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Do $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, nên $y = 4 - 2\sin x\cos x = 4 - \sin 2x$.

Vì $- 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow 1 \ge  - \sin 2x \ge  - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin 2x \ge 3$, nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi $\sin 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Hàm số xác định khi $4 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 4$ (luôn đúng do $\sin x \le 1 < 4$ với $\forall x \in \mathbb{R}$). Do đó, tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có $- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \ge  - \sin x \ge  - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin x \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{1}{{4 - \sin x}} \le \frac{1}{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi $\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.