Giải bài 5 trang 35 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho (x,y,z) là các số thực tùy ý. Chứng minh: (begin{array}{l}a){x^2} + {y^2} ge -2xy\b){x^2} + {y^2} + {z^2} ge xy + yz + zx\c)3left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} right) ge {left( {x + y + z} right)^2}end{array})
Đề bài
Cho x,y,z là các số thực tùy ý. Chứng minh:
a)x2+y2≥−2xyb)x2+y2+z2≥xy+yz+zxc)3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng tính chất của hằng đẳng thức: (x+y)2≥0
b) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (x−y)2≥0;(y−z)2≥0;(z−x)2≥0.
c) Xét hiệu 3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2.
Lời giải chi tiết
a) Do (x+y)2≥0∀x,y∈R nên x2+2xy+y2≥0 hay x2+y2≥−2xy.
b) Với x,y,z là các số thực tùy ý ta có:
(x−y)2≥0;(y−z)2≥0;(z−x)2≥0.
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được:
(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0
x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2xz+x2≥0
2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+xz)
Vậy x2+y2+z2≥xy+yz+zx
c) Xét hiệu
3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2=3x2+3y2+3z2−x2−y2−z2−2xy−2yz−2zx=(x2−2xy+y2)+(y2−2yz+z2)+(x2−2zx+z2)=(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2
Do (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0 nên 3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2
hay 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.