Giải Bài 56 trang 85 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) ^ABM=^CAN
b) CN = MA;
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh ^ABM=^CAN
- Chứng minh: ΔMAB=ΔNCA suy ra MA = NC
- Chứng minh: Nếu a // BC suy ra MA = MB (1)
Nếu a // BC suy ra CN = AN (2)
Từ (1), (2) và câu a) suy ra MA = AN.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆MAB vuông tại M có: ^ABM+^MAB=90∘ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 o ).
Ta có ^MAB+^BAC+^CAN=180∘
Suy ra ^MAB+^CAN=180∘−^BAC=90∘
Lại có ^ABM+^MAB=90∘
Suy ra ^ABM=^CAN
Vậy ^ABM=^CAN
b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:
^BMA=^ANC(=90∘)
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
^ABM=^CAN (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên ^ACB=^ABC
Lại có ^ACB+^ABC+^BAC=180∘ (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra ^ACB=^ABC=180∘−90∘2=45∘
• Nếu a // BC thì ^MAB=^ABC (hai góc so le trong).
Do đó ^MAB=45∘
Xét ∆ABM có ^AMB+^MBA+^MAB=180∘ (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra ^MBA=180∘−^AMB−^MAB=180∘−90∘−45∘=45∘
Do đó ^MAB=^MBA (cùng bằng 45°).
Xét ∆AMB có ^AMB=90∘ và ^MAB=^MBA nên ∆AMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
• Nếu a // BC thì ^CAN=^ACB=45∘ (hai góc so le trong)
Xét ∆ABM có ^ACN+^ANC+^CAN=180∘ (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra ^ACN=180∘−^ANC−^CAN=180∘−90∘−45∘=45∘
Do đó ^ACN=^CAN (cùng bằng 45°).
Xét ∆ANC có ^ANC=90∘ và ^ACN=^CAN nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.