Giải bài 6. 5 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai biến cố A và B với $P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0$. Chứng minh rằng nếu $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$ thì $A,B$ độc lập.

Lời giải chi tiết

Giả sử $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$ với $P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0$.

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right)$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right)$.

Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó A và B độc lập.