Giải bài 6 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \cos n$. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là:

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số bị chặn

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

Lời giải chi tiết

Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \cos \left( {n + 1} \right) - \cos \left( n \right) =  - 2\sin \left( {\frac{{n + 1 + n}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{n + 1 - n}}{2}} \right) =  - 2\sin \frac{{2n + 1}}{2}\sin \frac{1}{2}$

Với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, ta không thể xác định dấu của $\sin \frac{{2n + 1}}{2}$, do đó không thể kết luận $H > 0$ hay $H < 0$, tức là không thể kết luận dãy số tăng hay giảm.

Mặt khác, do $- 1 \le \cos n \le 1$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên. Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Đáp án đúng là C.