Giải bài 6 trang 68 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng $\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0$.

Lời giải chi tiết

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}$. Giả sử $h$ là số thực dương bé tuỳ ý cho trước.

Ta có $\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}$. Do đó $\left| {{u_n}} \right| < h \Leftrightarrow \frac{1}{{{n^2}}} < h \Leftrightarrow {n^2} > \frac{1}{h} \Leftrightarrow n > \frac{1}{{\sqrt h }}$.

Vậy với các số tự nhiên $n$ thoả mãn $n > \frac{1}{{\sqrt h }}$ thì $\left| {{u_n}} \right| < h$

Áp dụng định nghĩa về giới hạn dãy số, ta kết luận $\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0$.

Bài toán được chứng minh.